СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 19 № 505869

У Лены три набора, в каждом из которых одинаковое количество ручек (больше 1). У Юли несколько (больше 1) наборов ручек, по 5 штук в каждом.

а) При каком количестве наборов у Юли, количество всех ручек у Лены нечетно, если всего у девочек 105 ручек?

б) Можно ли разложить все ручки Юли и Лены в 12 наборов по 12 ручек в каждом?

в) Можно ли разложить все ручки Юли и Лены в k наборов по k ручек в каждом (k > 3)?

Решение.

а) Пусть в каждом Ленином наборе ручек, а у Юли наборов. Тогда получаем уравнение: По условию у Лены нечетное число ручек, значит, нечетно, и, соответственно, нечетно. Заметим, что значит, делится на 5. Кроме того, Значит, осталось перебрать такие случаи: Тогда соответственно,

б) Используя те же обозначения, получаем уравнение: Достаточно подобрать целые корни, большие единицы. Например, подходят числа

в) Теперь получаем уравнение: или Докажем, что для любого целого найдутся целые корни большие единицы.

Разберем несколько случаев. Пусть делится на 5. Тогда можно взять и ясно, что подходящее найдется. Пусть дает остаток 1 или 4 при делении на 5. Тогда дает остаток 1 при делении на 5. Далее возьмем дающее остаток 2 при делении на 5. Тогда делится на 5, и нужное существует. Пусть дает остаток 2 или 3 при делении на 5. Тогда дает остаток 4 при делении на 5. Далее возьмем дающее остаток 3 при делении на 5. Тогда делится на 5, и нужное существует.

 

Ответ: а) 18, 12, 6; б) да; в) да.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 4.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки, Сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки