а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ рёбра равны 1. На про­дол­же­нии от­рез­ка A₁C₁ за точку C₁ от­ме­че­на точка M так, что A₁C₁  =  C₁M, а на про­дол­же­нии от­рез­ка B₁C за точку C от­ме­че­на точка N так, что B₁C  =  CN.

а)  До­ка­жи­те, что MN  =  MB₁.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми B₁C₁ и MN.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Окруж­ность ка­са­ет­ся сто­ро­ны AC ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC и делит каж­дую из сто­рон AB и BC на три рав­ные части.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC рав­но­бед­рен­ный.

б)  Най­ди­те, в каком от­но­ше­нии вы­со­та этого тре­уголь­ни­ка делит сто­ро­ну BC.

В июле 2020 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на сумму 147 000 руб­лей. Усло­вия воз­вра­та та­ко­вы:

  — каж­дый ян­варь долг воз­рас­та­ет на 10% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

  — с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить одним пла­те­жом часть долга.

Сколь­ко руб­лей будет вы­пла­че­но банку, если из­вест­но, что кре­дит будет пол­но­стью по­га­шен двумя рав­ны­ми пла­те­жа­ми (то есть за два года)?

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно один ко­рень на [0; 1].

Не­сколь­ко экс­пер­тов оце­ни­ва­ют не­сколь­ко ки­но­филь­мов. Каж­дый из них вы­став­ля­ет оцен­ку каж­до­му ки­но­филь­му  — целое число бал­лов от 1 до 10 вклю­чи­тель­но. Из­вест­но, что каж­до­му ки­но­филь­му все экс­пер­ты вы­ста­ви­ли раз­лич­ные оцен­ки. Рей­тинг ки­но­филь­ма  — это сред­нее гео­мет­ри­че­ское оце­нок всех экс­пер­тов. Сред­нее гео­мет­ри­че­ское чисел равно Ока­за­лось, что рей­тин­ги всех ки­но­филь­мов  — раз­лич­ные целые числа.

а)  Могло ли быть 2 экс­пер­та и 5 ки­но­филь­мов?

б)  Могло ли быть 3 экс­пер­та и 4 ки­но­филь­ма?

в)  При каком наи­боль­шем ко­ли­че­стве экс­пер­тов опи­сан­ная си­ту­а­ция воз­мож­на для од­но­го ки­но­филь­ма?