Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

В со­рев­но­ва­ни­ях по тол­ка­нию ядра участ­ву­ют спортс­ме­ны из четырёх стран: 9 из Швей­ца­рии, 7 из Чехии, 8 из Сло­ва­кии и 11 из Ав­стрии. По­ря­док, в ко­то­ром вы­сту­па­ют спортс­ме­ны, опре­де­ля­ет­ся жре­би­ем. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что спортс­мен, вы­сту­па­ю­щий пер­вым, ока­жет­ся из Чехии.

В окруж­но­сти с цен­тром O AC и BD  — диа­мет­ры. Цен­траль­ный угол AOD равен 122°. Най­ди­те впи­сан­ный угол ACB. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Во сколь­ко раз умень­шит­ся объем ко­ну­са, если его вы­со­та умень­шит­ся в 9 раз, а ра­ди­ус ос­но­ва­ния оста­нет­ся преж­ним?

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции и ка­са­тель­ная к нему в точке с абс­цис­сой x₀. Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции f(x) в точке x₀.

Во­до­лаз­ный ко­ло­кол, со­дер­жа­щий υ  =  5 молей воз­ду­ха при дав­ле­нии p₁  =  1,5 ат­мо­сфе­ры, мед­лен­но опус­ка­ют на дно водоёма. При этом про­ис­хо­дит изо­тер­ми­че­ское сжа­тие воз­ду­ха до ко­неч­но­го дав­ле­ния p₂. Ра­бо­та, со­вер­ша­е­мая водой при сжа­тии воз­ду­ха, опре­де­ля­ет­ся вы­ра­же­ни­ем где   — по­сто­ян­ная, T  =  300 K тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха. Най­ди­те, какое дав­ле­ние (в атм) будет иметь воз­дух в ко­ло­ко­ле, если при сжа­тии воз­ду­ха была со­вер­ше­на ра­бо­та в 22 350 Дж.

Катер в 10:00 вышел по те­че­нию реки из пунк­та А в пункт В, рас­по­ло­жен­ный в 36 км от А. Про­быв 2 часа в пунк­те В, катер от­пра­вил­ся назад и вер­нул­ся в пункт А в 17:00 того же дня. Опре­де­ли­те соб­ствен­ную ско­рость ка­те­ра (в км/час), если из­вест­но, что ско­рость те­че­ния реки равна 3 км/ч.

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции вида Най­ди­те зна­че­ние f(2).

Стре­лок стре­ля­ет по од­но­му разу в каж­дую из четырёх ми­ше­ней. Ве­ро­ят­ность по­па­да­ния в ми­шень при каж­дом от­дель­ном вы­стре­ле равна 0,6. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что стре­лок попадёт в две пер­вые ми­ше­ни и не попадёт в две по­след­ние.

Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Дана пра­виль­ная четырёхуголь­ная пи­ра­ми­да SABCD. Точка M  — се­ре­ди­на SA, на ребре SB от­ме­че­на точка N так, что

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость CMN па­рал­лель­на пря­мой SD.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью CMN, если все рёбра равны 12.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В июле 2026 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке в раз­ме­ре 300 тыс. руб­лей. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  — каж­дый ян­варь долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на 30% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

  — с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить одним пла­те­жом часть долга;

  — вы­пла­ты в 2027 и 2028 годах равны;

  — в июле 2029 долг дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен.

Сумма всех вы­плат равна 560,1 тыс. руб­лей. Сколь­ко руб­лей со­ста­вит платёж в 2027 году?

В тре­уголь­ни­ке ABC на сто­ро­не BC от­ме­ти­ли точку D так, что AB  =  BD. Бис­сек­три­са BF пе­ре­се­ка­ет AD в точке E. Из точки C на пря­мую AD опу­щен пер­пен­ди­ку­ляр CK.

a) До­ка­жи­те, что

б) Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди ABE к пло­ща­ди CDEF, если

Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно 4 раз­лич­ных ре­ше­ния.

Име­ют­ся три ко­роб­ки: в пер­вой  — 97 кам­ней, во вто­рой  — 104 камня, в тре­тьей ко­роб­ке кам­ней нет. За один ход берут по од­но­му камню из любых двух ко­ро­бок и кла­дут в остав­шу­ю­ся. Сде­ла­ли не­ко­то­рое ко­ли­че­ство таких ходов.

а)  Может ли в пер­вой ко­роб­ке ока­зать­ся 97 кам­ней, во вто­рой  — 89, в тре­тьей  — 15?

б)  Может ли в тре­тьей ко­роб­ке ока­зать­ся 201 ка­мень?

в)  Из­вест­но, что в пер­вой ко­роб­ке ока­зал­ся 1 ка­мень. Какое наи­боль­шее число кам­ней могло ока­зать­ся в тре­тьей ко­роб­ке?