Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 19 № 513689

После того, как учитель доказал классу новую теорему, выяснилось, что большая часть класса не поняла доказательство (быть может, все — Решу ЕГЭ). На перемене один ученик вдруг понял доказательство (и только он). Также известно, что в классе учится не более 30, но не менее 20 человек.

а) Могло ли получиться так, что теперь уже меньшая часть класса не понимает доказательство?

б) Могло ли получиться так, что исходно процент учеников, понявших доказательство, выражался целым числом, а после перемены ― нецелым числом?

в) Какое наибольшее целое значение может принять процент учеников класса, так и не понявших доказательство этой теоремы?

Решение.

а) Да. Пусть в классе учится 29 человек, из которых сперва 15 человек не поняли доказательство (большая часть класса), а затем их осталось 14 (меньшая часть).

Замечание: подойдет любой пример с нечетным количеством учеников от 21 до 29 и количествами понявших и не понявших, отличающимися на 1.

б) Да. Пусть в классе было 24 ученика, из которых ровно 6 поняли доказательство. Тогда исходно процент понявших ― 25, а после перемены, когда понявших станет 7, процент понявших будет нецелым.

Замечание: Есть и другие примеры, например, 3 ученика из 30 поняли доказательство на уроке.

в) Пусть всего в классе n учеников, а количество так и не понявших доказательство равно k. Очевидно, k не превосходит (n − 1), ведь один ученик понял доказательство на перемене. Тогда искомый процент равен  дробь, числитель — 100k, знаменатель — n . Чтобы это число было как можно большим, требуется максимизировать дробь  дробь, числитель — k, знаменатель — n при условии, что 100k \vdots n.

Докажем, что наибольшее значение дроби  дробь, числитель — 100k, знаменатель — n равно 96. Результат 96 достигается, если k=24,n=25. Если n меньше 25, то очевидно, что  левая круглая скобка дробь, числитель — k, знаменатель — n правая круглая скобка _{max} меньше дробь, числитель — 24, знаменатель — 25 .

Далее, разберем случаи n = 26,27,28,29,30.

1) n = 26. Чтобы выполнялось условие 100k\vdotsn, необходимо взять k, кратное 13, что возможно только при k = 13, а  дробь, числитель — 13, знаменатель — 26 меньше дробь, числитель — 24, знаменатель — 25 .

2) n = 27. Чтобы выполнялось условие 100k\vdotsn, необходимо взять k, кратное 27, что возможно только при k = 0.

3) n = 28. Чтобы выполнялось условие 100k\vdotsn, необходимо взять k, кратное 7, что возможно только при k не большем 21, а  дробь, числитель — 21, знаменатель — 28 меньше дробь, числитель — 24, знаменатель — 25 .

4) n = 29. Чтобы выполнялось условие 100k\vdotsn, необходимо взять k, кратное 29, что возможно только при k = 0.

5) n = 30. Чтобы выполнялось условие 100k\vdotsn, необходимо взять k, кратное 3, что возможно только при k не большем 27, а  дробь, числитель — 27, знаменатель — 30 меньше дробь, числитель — 24, знаменатель — 25 .

Таким образом, 96 — наибольшее целое значение искомого процента.

 

Ответ: а) да; б) да; в) 96.


Аналоги к заданию № 513689: 513719 Все

Источник: Пробный экзамен по профильной математике Санкт-Петербург 05.04.2016. Вариант 1.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки
Спрятать решение · · Курс 80 баллов · Курс Д. Д. Гущина ·
Максим Дудниченко 23.08.2016 21:08

"Большая часть класса не поняла доказательство"

Разве это не значит, что как минимум один человек сразу понял доказательство? Тогда k не превосходит (n-2) и ответ в)92.

Константин Лавров

Нет. Не означает.