СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 19 № 513689

После того, как учи­тель до­ка­зал клас­су новую тео­ре­му, вы­яс­ни­лось, что боль­шая часть клас­са не по­ня­ла до­ка­за­тель­ство (быть может, все — Решу ЕГЭ). На пе­ре­ме­не один уче­ник вдруг понял до­ка­за­тель­ство (и толь­ко он). Также из­вест­но, что в клас­се учит­ся не более 30, но не менее 20 че­ло­век.

а) Могло ли по­лу­чить­ся так, что те­перь уже мень­шая часть клас­са не по­ни­ма­ет до­ка­за­тель­ство?

б) Могло ли по­лу­чить­ся так, что ис­ход­но про­цент уче­ни­ков, по­няв­ших до­ка­за­тель­ство, вы­ра­жал­ся целым чис­лом, а после пе­ре­ме­ны ― не­це­лым чис­лом?

в) Какое наи­боль­шее целое зна­че­ние может при­нять про­цент уче­ни­ков клас­са, так и не по­няв­ших до­ка­за­тель­ство этой тео­ре­мы?

Решение.

а) Да. Пусть в классе учится 29 человек, из которых сперва 15 человек не поняли доказательство (большая часть класса), а затем их осталось 14 (меньшая часть).

Замечание: подойдет любой пример с нечетным количеством учеников от 21 до 29 и количествами понявших и не понявших, отличающимися на 1.

б) Да. Пусть в классе было 24 ученика, из которых ровно 6 поняли доказательство. Тогда исходно процент понявших ― 25, а после перемены, когда понявших станет 7, процент понявших будет нецелым.

Замечание: Есть и другие примеры, например, 3 ученика из 30 поняли доказательство на уроке.

в) Пусть всего в классе n учеников, а количество так и не понявших доказательство равно k. Очевидно, k не превосходит (n − 1), ведь один ученик понял доказательство на перемене. Тогда искомый процент равен Чтобы это число было как можно большим, требуется максимизировать дробь при условии, что

Докажем, что наибольшее значение дроби равно 96. Результат 96 достигается, если Если то очевидно, что

Далее, разберем случаи

1) n = 26. Чтобы выполнялось условие необходимо взять k, кратное 13, что возможно только при k = 13, а

2) n = 27. Чтобы выполнялось условие необходимо взять k, кратное 27, что возможно только при k = 0.

3) n = 28. Чтобы выполнялось условие необходимо взять k, кратное 7, что возможно только при k не большем 21, а

4) n = 29. Чтобы выполнялось условие необходимо взять k, кратное 29, что возможно только при k = 0.

5) n = 30. Чтобы выполнялось условие необходимо взять k, кратное 3, что возможно только при k не большем 27, а

Таким образом, 96 — наибольшее целое значение искомого процента.

 

Ответ: а) да; б) да; в) 96.


Аналоги к заданию № 513689: 513719 Все

Источник: Пробный эк­за­мен по про­филь­ной математике Санкт-Петербург 05.04.2016. Ва­ри­ант 1.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки, Сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки
Спрятать решение · ·
Максим Дудниченко 23.08.2016 21:08

"Большая часть класса не поняла доказательство"

Разве это не значит, что как минимум один человек сразу понял доказательство? Тогда k не превосходит (n-2) и ответ в)92.

Константин Лавров

Нет. Не означает.