а)  До­ждем­ся, когда кучек ста­нет 70. Среди них най­дет­ся 40 кучек по од­но­му ка­меш­ку, (иначе ка­меш­ков будет не мень­ше, чем 2 · 31 + 39  =  101). Если от­бро­сить эти 40 кучек, оста­нет­ся 30 кучек, со­дер­жа­щих 60 ка­меш­ков.

б)  До­ка­жем по ин­дук­ции, что при n = 2, 3, … 20 в не­ко­то­рый мо­мент най­дет­ся 2n + 6 кам­ней в n + 20 куч­ках.

База: n  =  20. После со­ро­ко­во­го хода у нас 100 кам­ней в 40 куч­ках.

Шаг: пусть n > 2 и есть 2n + 6 кам­ней в n + 20 куч­ках. Среди них най­дет­ся кучка из двух кам­ней или 2 кучки по од­но­му камню, по­сколь­ку (n + 19) + 1 > 2n + 60. От­бро­сим их и во вто­ром слу­чае до­ждем­ся, когда Костя разо­бьет одну из остав­ших­ся кучек на две. Тогда n умень­шит­ся на еди­ни­цу.

При n  =  2 имеем 64 камня в 22 куч­ках. До­ка­жем, что мы можем на­брать 4 камня двумя или более куч­ка­ми. Пусть нет, тогда если есть кучка из од­но­го камня, то кам­ней не мень­ше, чем 1 + 1 + 1 + 4 · 19 > 64 если нет, то кам­ней не мень­ше, чем 2 + 3 · 21 > 64. Про­ти­во­ре­чие. От­бро­сив эти 4 камня мы по­лу­чим 60 кам­ней в 20 или менее куч­ках. Если кучек мень­ше 20, то оста­лось до­ждать­ся, когда кучек ста­нет ровно 20.

в)  Пусть Костя от­де­ля­ет от самой боль­шой кучи по три ка­меш­ка до тех пор, пока не оста­нет­ся кучка из че­ты­рех кам­ней. До сих пор была ровно одна куча, число ка­меш­ков в ко­то­рой не де­ли­лось на 3. Сумма в любых 19 куч­ках с ее уча­сти­ем не де­ли­лась на 3, а без неё не пре­вос­хо­ди­ла 57, то есть не могла рав­нять­ся 60. Затем пусть Костя раз­де­лит кучку из 4 кам­ней на две кучи по два камня. Те­перь в каж­дой куче не боль­ше трех кам­ней, по­это­му в любых 19 кучах не более 57 кам­ней.

Ответ: а)  да; б)  да; в)  да, мог.