а)  Ре­ши­те урав­не­ние:

б)  Опре­де­ли­те, какие из его кор­ней при­над­ле­жат от­рез­ку

Ос­но­ва­ни­ем пря­мой тре­уголь­ной приз­мы ABCA₁B₁C₁ яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC с пря­мым углом C. Пря­мые CA₁ и AB₁ пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

а)  До­ка­жи­те, что AA₁  =  AC.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми CA₁ и AB₁, если AC  =  6, BC  =  3.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Две окруж­но­сти с цен­тра­ми O₁ и O₂ пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках A и B, причём точки O₁ и O₂ лежат по раз­ные сто­ро­ны от пря­мой AB. Про­дол­же­ния диа­мет­ра CA пер­вой окруж­но­сти и хорды CB этой окруж­но­сти пе­ре­се­ка­ют вто­рую окруж­ность в точ­ках D и E со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки CBD и O₁AO₂ по­доб­ны.

б)  Най­ди­те AD, если ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти втрое боль­ше ра­ди­у­са пер­вой и AB  =  3.

15-го ян­ва­ря пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на не­ко­то­рый срок (целое число ме­ся­цев). Усло­вие его вы­пла­ты та­ко­вы:

—  1-⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на 3% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  со 2-⁠го по 14-⁠е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

—  15-⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца долг дол­жен быть на одну и ту же сумму мень­ше долга на 15-⁠е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца.

На сколь­ко ме­ся­цев пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит, если из­вест­но, что общая сумма вы­плат после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та на 30% боль­ше суммы, взя­той в кре­дит?

Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно один ко­рень на от­рез­ке [0; 2].

Каж­дый из 28 сту­ден­тов писал или одну из двух кон­троль­ных работ, или на­пи­сал обе кон­троль­ные ра­бо­ты. За каж­дую ра­бо­ту можно было по­лу­чить целое число бал­лов от 0 до 20 вклю­чи­тель­но. По каж­дой из двух кон­троль­ных работ в от­дель­но­сти сред­ний балл со­ста­вил 15. Затем каж­дый сту­дент на­звал наи­выс­ший из своих бал­лов (если сту­дент писал одну ра­бо­ту, то он на­звал балл за неё). Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское на­зван­ных бал­лов равно S.

а)  При­ве­ди­те при­мер, когда S < 15.

б)  Могло ли ока­зать­ся, что толь­ко два сту­ден­та на­пи­са­ли обе кон­троль­ные ра­бо­ты, если S  =  13?

в)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство сту­ден­тов могло на­пи­сать обе кон­троль­ные ра­бо­ты, если S  =  13?