Группа психологов разработала тест, пройдя который, каждый человек получает оценку — число Q — показатель его умственных способностей (чем больше Q, тем больше способности). За рейтинг страны принимается среднее арифметическое значений Q всех жителей страны.
а) Группа граждан страны A эмигрировала в страну B. Мог ли при этом у обеих стран вырасти рейтинг?
б) После этого группа граждан страны B (в числе которых могут быть и бывшие эмигранты из A) эмигрировала в страну A. Возможно ли, что рейтинги обеих стран опять выросли?
в) Группа граждан страны A эмигрировала в страну B, а группа граждан B — в страну C. В результате рейтинги каждой страны оказались выше первоначальных. После этого направление миграционных потоков изменилось на противоположное – часть жителей C переехала в B, а часть жителей B – в A. Оказалось, что в результате рейтинги всех стран опять выросли (по сравнению с теми, что были после первого переезда, но до начала второго). Может ли такое быть (если да, то как, если нет, то почему)? Предполагается, что за рассматриваемое время Q граждан не изменилось, никто не умер и не родился.
а) Пусть в стране A три жителя с показателями 5, 5 и 2. Пусть житель с показателем 2 эмигрировал в страну B, в которой до этого жил всего один житель с показателем 1. Тогда рейтинг страны A вырастет с 4 до 5, а рейтинг страны B вырастет с 1 до 1,5.
б) Покажем, что при объединении двух групп людей с рейтингами 
и 
рейтинг 
новой группы удовлетворяет условию 
Действительно, пусть показатели первой группы такие: 
а второй группы такие: 
Тогда
Тогда 
тогда 
Тогда 
тогда 
Теперь ясно, что рейтинг обеих стран в результате эмиграции может вырасти одновременно только если группа эмигрантов имеет рейтинг ниже рейтинга страны, из которой они уезжают, и выше рейтинга страны, в которую они приезжают. Таким образом, при обратной эмиграции одновременное повышение рейтинга невозможно.
в) Приведем пример такой ситуации: пусть в стране A всего два жителя с показателями 1 и 3, в стране B пять жителей с показателями 4, 4, 6, 6 и 55, в стране C один житель с показателем 1.
Во время первой волны эмиграции из A в B переехал один житель с показателем 1, из B в C переехало двое жителей с показателем 4. Тогда рейтинги изменились так: у А вырос с 2 до 3, у B с 15 до 17, у C с 1 до 3.
Во время второй волны эмиграции из C в B переехал один житель с показателем 1, из B в А переехало двое жителей с показателем 6. Тогда рейтинги изменились так: у А вырос с 3 до 5, у B с 17 до 19, у C с 3 до 4.
Ответ: а) да; б) нет; в) да.
