СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 19 № 505995

Груп­па пси­хо­ло­гов раз­ра­бо­та­ла тест, прой­дя ко­то­рый, каж­дый че­ло­век по­лу­ча­ет оцен­ку — число Q — по­ка­за­тель его ум­ствен­ных спо­соб­но­стей (чем боль­ше Q, тем боль­ше спо­соб­но­сти). За рей­тинг стра­ны при­ни­ма­ет­ся сред­нее ариф­ме­ти­че­ское зна­че­ний Q всех жи­те­лей стра­ны.

а) Груп­па граж­дан стра­ны A эми­гри­ро­ва­ла в стра­ну B. Мог ли при этом у обеих стран вы­рас­ти рей­тинг?

б) После этого груп­па граж­дан стра­ны B (в числе ко­то­рых могут быть и быв­шие эми­гран­ты из A) эми­гри­ро­ва­ла в стра­ну A. Воз­мож­но ли, что рей­тин­ги обеих стран опять вы­рос­ли?

в) Груп­па граж­дан стра­ны A эми­гри­ро­ва­ла в стра­ну B, а груп­па граж­дан B — в стра­ну C. В ре­зуль­та­те рей­тин­ги каж­дой стра­ны ока­за­лись выше пер­во­на­чаль­ных. После этого на­прав­ле­ние ми­гра­ци­он­ных по­то­ков из­ме­ни­лось на про­ти­во­по­лож­ное – часть жи­те­лей C пе­ре­еха­ла в B, а часть жи­те­лей B – в A. Ока­за­лось, что в ре­зуль­та­те рей­тин­ги всех стран опять вы­рос­ли (по срав­не­нию с теми, что были после пер­во­го пе­ре­ез­да, но до на­ча­ла вто­ро­го). Может ли такое быть (если да, то как, если нет, то по­че­му)? Пред­по­ла­га­ет­ся, что за рас­смат­ри­ва­е­мое время Q граж­дан не из­ме­ни­лось, никто не умер и не ро­дил­ся.

Ре­ше­ние.

а) Пусть в стра­не A три жи­те­ля с по­ка­за­те­ля­ми 5, 5 и 2. Пусть жи­тель с по­ка­за­те­лем 2 эми­гри­ро­вал в стра­ну Б в ко­то­рой до этого жил всего один жи­тель с по­ка­за­те­лем 1. Тогда рей­тинг стра­ны A вы­рас­тет с 4 до 5, а рей­тинг стра­ны Б вы­рас­тет с 1 до 1,5.

б) По­ка­жем, что при объ­еди­не­нии двух групп людей с рей­тин­га­ми и рей­тинг новой груп­пы удо­вле­тво­ря­ет усло­вию Дей­стви­тель­но, пусть по­ка­за­те­ли пер­вой груп­пы такие: а вто­рой груп­пы такие:

Тогда

Тогда тогда Тогда тогда

Те­перь ясно, что рей­тинг обеих стран в ре­зуль­та­те эми­гра­ции может вы­рас­ти од­но­вре­мен­но толь­ко если груп­па эми­гран­тов имеет рей­тинг ниже рей­тин­га стра­ны, из ко­то­рой они уез­жа­ют, и выше рей­тин­га стра­ны, в ко­то­рую они при­ез­жа­ют. Таким об­ра­зом, при об­рат­ной эми­гра­ции од­но­вре­мен­ное по­вы­ше­ние рей­тин­га не­воз­мож­но.

в) При­ве­дем при­мер такой си­ту­а­ции: пусть в стра­не A всего два жи­те­ля с по­ка­за­те­ля­ми 1 и 3, в стра­не Б пять жи­те­лей с по­ка­за­те­ля­ми 4, 4, 6, 6 и 55, в стра­не B один жи­тель с по­ка­за­те­лем 1.

Во время пер­вой волны эми­гра­ции из A в B пе­ре­ехал один жи­тель с по­ка­за­те­лем 1, из Б в В пе­ре­еха­ло двое жи­те­лей с по­ка­за­те­лем 4. Тогда рей­тин­ги из­ме­ни­лись так: у А вырос с 2 до 3, у Б с 15 до 17, у В с 1 до 3.

Во время вто­рой волны эми­гра­ции из В в Б пе­ре­ехал один жи­тель с по­ка­за­те­лем 1, из Б в А пе­ре­еха­ло двое жи­те­лей с по­ка­за­те­лем 6. Тогда рей­тин­ги из­ме­ни­лись так: у А вырос с 3 до 5, у Б с 17 до 19, у В с 3 до 4.

 

Ответ: а) да; б) нет; в) да.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 25.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки, Сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки