Издательство на выставку привезло несколько книг для продажи (каждую книгу привезли в единственном экземпляре). Цена каждой книги — натуральное число рублей. Если цена книги меньше 100 рублей, на неё приклеивают бирку «выгодно». Однако до открытия выставки цену каждой книги увеличили на 10 рублей, из-за чего количество книг с бирками «выгодно» уменьшилось.
а) Могла ли уменьшиться средняя цена книг с биркой «выгодно» после открытия выставки по сравнению со средней ценой книг с биркой «выгодно» до открытия выставки?
б) Могла ли уменьшиться средняя цена книг без бирки «выгодно» после открытия выставки по сравнению со средней ценой книг без бирки «выгодно» до открытия выставки?
в) Известно, что первоначально средняя цена всех книг составляла 110 рублей, средняя цена книг с биркой «выгодно» составляла 81 рубль, а средняя цена книг без бирки — 226 рублей. После увеличения цены средняя цена книг с биркой «выгодно» составила 90 рублей, а средняя цена книг без бирки — 210 рублей. При каком наименьшем количестве книг такое возможно?
а) Предположим, что продавались всего три книги, которые первоначально стоили 120, 94 и 20 рублей. Средняя цена «выгодных» книг составляет 
рублей. После увеличения цены книги стали стоить 130, 104 и 30 рублей. Теперь средняя цена «выгодных» книг составляет 30 рублей.
б) В примере из предыдущего пункта первоначально средняя цена «невыгодных» книг составляет 120 рублей, а после увеличения 
рублей.
в) Пусть всего привезли n книг. Первоначально «выгодных» было x книг, после увеличения цены выгодных стало y книг. Средняя цена всех книг после увеличения составляет 120 рублей. Получаем два уравнения: 
и 
откуда 116n = 145x, то есть 4n = 5x, и 90n = 120y, то есть 3n = 4y. Поэтому число n кратно 4 и 5, то есть кратно 20. Таким образом, 
Покажем, что возможен случай n = 20. Пусть первоначально было 15 книг по 80 рублей, одна книга — по 96 рублей и четыре книги по 226 рублей. Тогда средняя цена всех книг 110 рублей, средняя цена книг с биркой 81 рубль, а средняя цена книг без бирки — 226 рублей. После увеличения цены средняя цена книг с биркой «выгодно» составила 90 рублей, а средняя цена книг без бирки — 210 рублей. Все условия выполнены.
Ответ: а) да; б) да; в) 20.
Приведём другое решение.
а, б) Если изначально были три книги с ценами 5, 95 и 995 рублей, то после повышения цен они стали стоить 15, 105, 1005 рублей. Тогда средняя цена выгодных книг стала 15 (а была 
), а средняя цена прочих стала 
(а была 995).
в) Пусть было x книг ценой 100 рублей и выше, y книг ценой от 90 до 99 рублей и z книг ценой менее 90 рублей. Книги из второй группы при повышении цены лишаются бирки «выгодно». Тогда суммарная цена всех книг составляла 110 · (x + y + z), суммарная цена выгодных книг — 81 · (y + z), суммарная цена книг первой группы — 226x, откуда
Значит, общее число книг кратно 5. После повышения суммарная цена составляла 120 · (x + y + z) (каждая книга подорожала на 10 рублей). При этом суммарная цена книг третьей группы составила 90z, а суммарная цена прочих — 210 · (x + y), откуда
Значит, общее число книг кратно 4. Поэтому общее число книг не может быть меньше 20. 20 книг быть может — пусть y = 1, x = 4, z = 15, причем изначально были 4 книги по 226 рублей, 15 книг по 80 рублей и одна книга за 96 рублей, тогда все условия задачи выполнены.