На каждой из 28 костей домино написаны два целых числа, не меньших 0 и не больших 6 так, что они образуют все возможные пары по одному разу (0-0, 0-1, 0-2 и так далее до 6-6).
Все кости домино разложили на несколько кучек и для каждой кучки подсчитали сумму всех чисел на костях, находящихся в этой кучке. Оказалось, что полученные суммы образуют возрастающую арифметическую прогрессию.
а) Могло ли быть 7 кучек?
б) Могло ли быть 9 кучек?
в) Какое наибольшее количество кучек могло быть?
Сумма всех чисел на доминошках равна 8(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 168.
а) Да, это возможно. Например
6-0
6-6
6-5, 6-1
6-4, 6-3, 5-0
6-2, 5-5, 5-4, 3-0
5-3, 5-2, 5-1, 4-4, 4-3
Остальные.
б) Если сумма в пятой кучке равна x, то сумма всех чисел равна 
но 
не кратно 9.
в) Пусть в первой кучке сумма x, всего кучек n и разность прогрессии равна 
Тогда
Если число кучек нечетно, то 168 должно делиться на 
Из нечетных чисел, больших 
оно делится лишь на 
однако если есть 21 кучка, то средняя из них имеет размер что невозможно.
Если же это число четно, то 336 должно делиться на При этом 
откуда 
Но на 18 число 336 не делится.
Пусть 
тогда 
возьмем 
Это возможно, вот разбиение на кучки:
0-3
0-4
0-5
0-6
1-6
2-6
3-6
4-6
5-6
6-6
5-5, 1-2
5-4, 1-4
5-3, 5-2
5-1, 4-4, 1-1
4-3, 4-2, 2-2,
3-3, 3-2, 3-1, 2-0, 1-0, 0-0
Ответ: а) да; б) нет; в) 16.