Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 514573

На каждой из 28 костей домино написаны два целых числа, не меньших 0 и не больших 6 так, что они образуют все возможные пары по одному разу (0-0, 0-1, 0-2 и так далее до 6-6).

Все кости домино разложили на несколько кучек и для каждой кучки подсчитали сумму всех чисел на костях, находящихся в этой кучке. Оказалось, что полученные суммы образуют возрастающую арифметическую прогрессию.

а) Могло ли быть 7 кучек?

б) Могло ли быть 9 кучек?

в) Какое наибольшее количество кучек могло быть?

Спрятать решение

Решение.

Сумма всех чисел на доминошках равна 8(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 168.

а) Да, это возможно. Например

6-0

6-6

6-5, 6-1

6-4, 6-3, 5-0

6-2, 5-5, 5-4, 3-0

5-3, 5-2, 5-1, 4-4, 4-3

Остальные.

б) Если сумма в пятой кучке равна x, то сумма всех чисел равна 9x, но 168 не кратно 9.

в) Пусть в первой кучке сумма x, всего кучек n и разность прогрессии равна d. Тогда

 левая круглая скобка 2x плюс левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка d правая круглая скобка n=168 умножить на 2=336.

Если число кучек нечетно, то 168 должно делиться на n. Из нечетных чисел, больших 8, оно делится лишь на 21, однако если есть 21 кучка, то средняя из них имеет размер 8, что невозможно.

Если же это число четно, то 336 должно делиться на n. При этом 336 больше n левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка , откуда n меньше или равно 18. Но на 18 число 336 не делится.

Пусть n=16, тогда 2x плюс левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка d=21, возьмем d=1,x=3. Это возможно, вот разбиение на кучки

0-3

0-4

0-5

0-6

 

1-6

2-6

3-6

4-6

 

5-6

6-6

5-5, 1-2

5-4, 1-4

 

5-3, 5-2

5-1, 4-4, 1-1

4-3, 4-2, 2-2,

3-3, 3-2, 3-1, 2-0, 1-0, 0-0

 

Ответ: а) да, б) нет, в) 16.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.2
Верно получен один из следующий результатов:

— обоснованное решение в п. а;

— пример в п. б;

— искомая оценка в п. в;

— пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 156.