Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 19 № 525413
i

Агата до­би­ра­лась от дома до ин­сти­ту­та на своем ав­то­мо­би­ле с по­сто­ян­ной ско­ро­стью 100 км/⁠ч. Об­рат­но она ехала с по­сто­ян­ной ско­ро­стью, ко­то­рая из­ме­ря­лась целым чис­лом ки­ло­мет­ров в час, при­чем путь до дома занял у нее боль­ше вре­ме­ни, чем путь до ин­сти­ту­та.

а)  Могла ли ее сред­няя ско­рость за эти две по­езд­ки со­ста­вить 90 км/⁠ч?

б)  Могла ли ее сред­няя ско­рость за эти две по­езд­ки ока­зать­ся рав­ной це­ло­му числу ки­ло­мет­ров в час?

в)  Какое наи­мень­шее целое число ки­ло­мет­ров в час могла со­став­лять ее сред­няя ско­рость за эти две по­езд­ки?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть ско­рость Агаты на об­рат­ном пути со­ста­ви­ла x км/ч, а путь от дома до ин­сти­ту­та со­став­ля­ет S км. Тогда сред­няя ско­рость Агаты будет равна V_ср= дробь: чис­ли­тель: 2S, зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: 100 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: x конец дроби конец дроби ;V_ср= дробь: чис­ли­тель: 200x, зна­ме­на­тель: x плюс 100 конец дроби км/ч.

а)  Нет, не могла. Пусть сред­няя ско­рость со­ста­ви­ла 90 км/⁠ч. Тогда

дробь: чис­ли­тель: 200x, зна­ме­на­тель: x плюс 100 конец дроби =90 рав­но­силь­но 200x=90x плюс 9000 рав­но­силь­но 110x=9000 рав­но­силь­но x= дробь: чис­ли­тель: 900, зна­ме­на­тель: 11 конец дроби ,

что про­ти­во­ре­чит це­ло­чис­лен­но­сти x.

б)  Да, могла. Если x=60 км/ч, то V_ср= дробь: чис­ли­тель: 200 умно­жить на 60, зна­ме­на­тель: 160 конец дроби ;V_ср=75 км/ч.

в)  Чем мень­ше x, тем мень­ше сред­няя ско­рость.

дробь: чис­ли­тель: 200x, зна­ме­на­тель: x плюс 100 конец дроби   — целое, по­это­му 200x крат­но левая круг­лая скоб­ка x плюс 100 пра­вая круг­лая скоб­ка . Но 200 левая круг­лая скоб­ка x плюс 100 пра­вая круг­лая скоб­ка крат­но левая круг­лая скоб­ка x плюс 100 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­чит, 20000 крат­но левая круг­лая скоб­ка x плюс 100 пра­вая круг­лая скоб­ка . По­сколь­ку 20000=2 в сте­пе­ни 5 умно­жить на 5 в сте­пе­ни 4 , то x плюс 100=2 в сте­пе­ни k умно­жить на 5 в сте­пе­ни m , где k\leqslant5,m\leqslant4. При этом по­сколь­ку x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 0;100 пра­вая круг­лая скоб­ка , то левая круг­лая скоб­ка x плюс 100 пра­вая круг­лая скоб­ка при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 100;200 пра­вая круг­лая скоб­ка . (*)

1.  m=0. Тогда x плюс 100\leqslant2 в сте­пе­ни 5 , что про­ти­во­ре­чит (*).

2.  m=1. Тогда x плюс 100=5 умно­жить на 2 в сте­пе­ни k . Дан­ное вы­ра­же­ние на­хо­дит­ся в ин­тер­ва­ле левая круг­лая скоб­ка 100;200 пра­вая круг­лая скоб­ка толь­ко при k = 5, то есть x=60.

3.  m=2. Тогда x плюс 100=25 умно­жить на 2 в сте­пе­ни k . Дан­ное вы­ра­же­ние не на­хо­дит­ся в ин­тер­ва­ле левая круг­лая скоб­ка 100;200 пра­вая круг­лая скоб­ка ни при каких k.

4.  m=3. Тогда x плюс 100=125 умно­жить на 2 в сте­пе­ни k . Дан­ное вы­ра­же­ние на­хо­дит­ся в ин­тер­ва­ле левая круг­лая скоб­ка 100;200 пра­вая круг­лая скоб­ка толь­ко при k = 0, то есть x=25.

Таким об­ра­зом, наи­мень­шее зна­че­ние сред­ней ско­ро­сти до­сти­га­ет­ся при x=25 км/ч, и тогда сред­няя ско­рость равна: V_ср= дробь: чис­ли­тель: 5000, зна­ме­на­тель: 125 конец дроби =40 км/ч.

 

Ответ: а)  нет; б)  да; в)  40 км/⁠ч.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Верно по­лу­че­ны все пе­ре­чис­лен­ные (см. кри­те­рий на 1 балл) ре­зуль­та­ты4
Верно по­лу­че­ны три из пе­ре­чис­лен­ных (см. кри­те­рий на 1 балл) ре­зуль­та­тов3
Верно по­лу­че­ны два из пе­ре­чис­лен­ных (см. кри­те­рий на 1 балл) ре­зуль­та­тов2
Верно по­лу­чен один из сле­ду­ю­щий ре­зуль­та­тов:

―  обос­но­ван­ное ре­ше­ние в п. а;

―  при­мер в п. б;

―  ис­ко­мая оцен­ка в п. в;

―  при­мер в п. в, обес­пе­чи­ва­ю­щий точ­ность преды­ду­щей оцен­ки

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл4

Аналоги к заданию № 525413: 525458 Все

Источник: Проб­ный ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке, Санкт-Пе­тер­бург, 19.03.2019. Ва­ри­ант 1
Классификатор алгебры: Сю­жет­ные за­да­чи: кино, театр, мотки верёвки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025