По кругу стоят несколько детей, среди которых есть хотя бы 2 мальчика и хотя бы две девочки. У каждого из детей есть натуральное число конфет. У любых двух мальчиков одинаковое количество конфет, а у любых двух девочек — разное. По команде каждый отдал соседу справа одну третью или одну четвертую своих конфет. После этого у любых двух мальчиков стало разное количество конфет, а у любых двух девочек — одинаковое. Известно, что каждый отдал натуральное число конфет.
а) Возможно ли, чтобы мальчиков было столько же, сколько и девочек?
б) Могло ли быть ровно 4 мальчика?
в) Могло ли быть ровно 10 мальчиков?
а) Да. Например, они стояли чередуясь, у мальчиков было по 36 конфет, а у девочек 12 и 16. Тогда из количеств 36, 12, 36, 16 могли получиться 28, 21, 30, 21 так: 36 − 12 + 4, 12 − 3 + 12, 36 − 9 + 3 и 16 − 4 + 9.
б) Да, например, было 4 мальчика у каждого по 12 конфет и две девочки, а стояли они так: 12, 12, 33, 12, 12, 28. После передачи конфет у них стало 15, 13, 25, 20, 11, 25 конфет, и все условия выполнены.
в) Допустим, это возможно. Тогда из десяти мальчиков минимум пять отдали поровну конфет. Рассмотрим их ближайших соседей справа: как минимум трое из этих соседей одного пола. Минимум двое из этих троих отдают одинаковую часть конфет. Если это два мальчика, то они отдали равные доли своих конфет и получили одинаковое количество конфет. Значит, в итоге у них осталось поровну конфет, что противоречит условию. Если это две девочки, то они отдали равные доли конфет и получили одинаковое количество конфет, причем в итоге у них стало поровну конфет. Значит, у них и было поровну конфет, что тоже невозможно.
Ответ: а) да; б) да; в) нет.