СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 19 № 526596

а) Найдите хотя бы одно такое натуральное число n, что десятичная запись числа n2 + 2n оканчивается всеми цифрами числа n, записанными в том же порядке.

б) Может ли такое число оканчиваться цифрой 3?

в) Найдите все такие четырёхзначные числа

Решение.

а) Например, число 9.

б) Предположим, что n = 10k + 3. Тогда

то есть десятичная запись числа n2 + 2n оканчивается цифрой 5. Значит, такое невозможно.

в) Запишем условие задачи в таком виде: преобразуем:

т. е.

Заметим, что n и n + 1 не могут одновременно делиться на 2 и не могут одновременно делиться на 5. Значит, один из множителей делится на 54 и один из множителей делится на 24. Эти два множителя могут совпадать только в том случае, если число n + 1 делится на 10000, а число n четырёхзначное, то есть n = 9999.

Если n ≠ 9999, мы должны подобрать два числа, одно из которых делится на 16, а другое на 625 и одно из которых больше другого на 1.

Переберём нечётные четырёхзначные числа, кратные числу 625: 1875, 3125, 4375, 5625, 6875, 8125, 9375. Из них только число 9375 имеет вид 16k − 1, а чисел вида 16k + 1 среди них нет.

Значит, искомое число может равняться 9375 или 9999.

 

Ответ: а) 9; б) нет; в) 9375; 9999.


Аналоги к заданию № 526596: 526604 Все

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки