По кругу стоят несколько детей, среди которых есть хотя бы два мальчика и хотя бы две девочки. У каждого из детей есть натуральное число конфет. У любых двух мальчиков одинаковое число конфет, а у любых двух девочек — разное. По команде каждый отдал соседу справа четверть своих конфет. После этого у любых двух девочек оказалось одинаковое число конфет, а у любых двух мальчиков — разное. Известно, что каждый из детей отдал натуральное число конфет.
а) Может ли мальчиков быть ровно столько же, сколько девочек?
б) Может ли мальчиков быть больше, чем девочек?
в) Пусть девочек вдвое больше, чем мальчиков. Может ли у всех детей суммарно быть 328 конфет?
а) Пусть у детей было 16, 16, 4, 8 конфет соответственно (у двух мальчиков было по 16 конфет), а стало 14, 16, 7, 7. Тогда условие задачи выполнено.
б) Заметим, что если два мальчика отдали конфеты девочкам, то у этих девочек не могло оказаться одинаковое число конфет, а если два мальчика отдали конфеты мальчикам, то у этих мальчиков не могло оказаться разное число конфет. Значит, не может быть больше двух мальчиков, то есть мальчиков ровно два и они стоят рядом. Таким образом, мальчиков не может быть больше, чем девочек, поскольку девочек не меньше двух.
в) Пусть у детей было 112, 112, 4. 40, 28, 32 конфет соответственно (у двух мальчиков было по 112 конфет), а стало 92, 112, 31, 31, 31, 31. Тогда условие задачи выполнено, а суммарно у детей 328 конфет.
Ответ: а) да; б) нет; в) да.