а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ все рёбра равны 6. На рёбрах AA₁ и CC₁ от­ме­че­ны точки M и N со­от­вет­ствен­но, причём AM  =  2, CN  =  1.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость MNB₁ раз­би­ва­ет приз­му на два мно­го­гран­ни­ка, объёмы ко­то­рых равны.

б)  Най­ди­те объём тет­ра­эд­ра MNBB₁.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Точки A₁, B₁ и C₁  — се­ре­ди­ны сто­рон со­от­вет­ствен­но BC, AC и AB ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC.

а)  До­ка­жи­те, что от­лич­ная от A₁ точка пе­ре­се­че­ния окруж­но­стей, опи­сан­ных около тре­уголь­ни­ков A₁CB₁ и A₁BC₁, лежит на окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка B₁AC₁.

б)  Из­вест­но, что AB  =  AC  =  10 и BC  =  12. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся цен­тры окруж­но­стей, опи­сан­ных около тре­уголь­ни­ков A₁CB₁, A₁BC₁ и B₁AC₁.

Вклад в раз­ме­ре 10 млн руб­лей пла­ни­ру­ет­ся от­крыть на че­ты­ре года. В конце каж­до­го года вклад уве­ли­чи­ва­ет­ся на 10% по срав­не­нию с его раз­ме­ром в на­ча­ле года, а, кроме этого, в на­ча­ле тре­тье­го года и четвёртого годов вклад еже­год­но по­пол­ня­ет­ся на одну и ту же фик­си­ро­ван­ную сумму, рав­ную це­ло­му числу мил­ли­о­нов руб­лей. Най­ди­те наи­мень­ший воз­мож­ный раз­мер такой суммы, при ко­то­ром через че­ты­ре года вклад ста­нет не мень­ше 30 млн руб­лей.

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет ровно два раз­лич­ных ре­ше­ния.

Вася пе­ре­мно­жил не­сколь­ко раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел из от­рез­ка [23; 84]. Петя уве­ли­чил каж­дое из Ва­си­ных чисел на 1 и пе­ре­мно­жил все по­лу­чен­ные числа.

а)  Может ли Петин ре­зуль­тат быть ровно вдвое боль­ше Ва­си­но­го?

б)  Может ли Петин ре­зуль­тат быть ровно в 6 раз боль­ше Ва­си­но­го?

в)  В какое наи­боль­шее целое число раз Петин ре­зуль­тат может быть боль­ше Ва­си­но­го?