Известно, что в кошельке лежало n монет, каждая из которых могла иметь достоинство 2, 5 или 10 рублей. Аня сделала все свои покупки, расплатившись за каждую покупку отдельно без сдачи только этими монетами, потратив при этом все монеты из кошелька.
а) Могли ли все её покупки состоять из блокнота за 56 рублей и ручки за 29 рублей, если n = 14?
б) Могли ли все её покупки состоять из чашки чая за 10 рублей, сырка за 15 рублей и пирожка за 20 рублей, если n = 19?
в) Какое наименьшее количество пятирублёвых монет могло быть в кошельке, если Аня купила только альбом за 85 рублей и n = 24?
а) Да. Например, заплатив за блокнот 5 десятирублёвых монет и 3 двухрублёвые монеты (8 монет), а за ручку 1 десятирублёвую монету, 3 пятирублёвые и 2 двухрублёвые (6 монет).
б) Предположим, что Аня сделала покупки требуемым образом. За чашку чая она заплатила либо 1 десятирублёвую монету, либо 2 пятирублёвые, либо 5 двухрублёвых. За сырок Аня должна была заплатить хотя бы одну пятирублёвую монету, а набрать оставшиеся 10 рублей можно одним из трёх указанных выше способов. Значит, за сырок она заплатила либо 2, либо 3, либо 6 монет. Следовательно, за чай и сырок она заплатила либо 11 монет, либо не более 8 монет.
В первом случае она заплатила за пирожок 8 монет. Они не могли быть все двухрублёвые. Значит, среди них либо была десятирублёвая монета, либо по крайней мере две пятирублёвые монеты. Оставшиеся 10 рублей нельзя набрать 6 или 7 монетами. Пришли к противоречию.
Во втором случае она заплатила за пирожок не менее 11 монет. Это также невозможно, поскольку тогда получилось бы не менее 22 рублей.
Полученные противоречия показывают, что Аня не могла сделать указанные покупки требуемым образом.
в) Пусть Аня купила альбом за 85 рублей, потратив 24 монеты: k двухрублёвых, l пятирублёвых и m десятирублёвых. Тогда
Значит, 
делится на 8. Следовательно, число l нечётно. При l равном 1, 3 и 5 выражение равно 34, 28 и 22 соответственно и не делится на 8.
Пример k = 15, l = 7 и m = 2 показывает, что Аня могла заплатить ровно 7 пятирублёвых монет.
Ответ: а) да; б) нет; в) 7.
Приведем решение пункта б) Инны Никитиной.
За все покупки Аня заплатила 45 рублей. Если бы среди 19 монет в ее кошельке была хотя бы одна десятирублевая, то сумма денег в ее кошельке была бы не менее, чем 10 + 18 · 2 = 46 рублей, что противоречит условию, что Аня потратила все деньги из кошелька. Следовательно, в кошельке были только двухрублевые и пятирублевые монеты.
Если бы все монеты были двухрублевые, то сумма денег в кошельке была бы равна 19 · 2 = 38 рублей. Замена одной двухрублевой монеты на пятирублевую даст прибавку в 3 рубля, следовательно, при замене нескольких двухрублевых монет на пятирублевые получим дополнительную сумму, кратную 3, а необходимая дополнительная сумма, равная 45 − 38 = 7, не кратна 3. Следовательно, набрать 45 рублей 19 монетами по 2, 5 и 10 рублей невозможно.