а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пря­мом кру­го­вом ци­лин­дре про­ве­де­на об­ра­зу­ю­щая NN₁, точка N лежит в ниж­нем ос­но­ва­нии. От­ре­зок KM₁ пе­ре­се­ка­ет ось ци­лин­дра, а точки K и M₁ лежат на окруж­но­стях ниж­не­го и верх­не­го ос­но­ва­ния со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник KNM₁ пря­мо­уголь­ный.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки N до пря­мой KM₁, если KN  =  9, N₁M₁  =  20.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

К окруж­но­сти, впи­сан­ной в квад­рат ABCD, про­ве­де­на ка­са­тель­ная, пе­ре­се­ка­ю­щая сто­ро­ны AB и AD в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка AMN равен сто­ро­не квад­ра­та.

б)  Пря­мая MN пе­ре­се­ка­ет пря­мую BC в точке P. В каком от­но­ше­нии делит сто­ро­ну AB (счи­тая от точки B) пря­мая, про­хо­дя­щая через точку P и центр окруж­но­сти, если AN : ND  =  1 : 2.

Ан­дрей как на­чи­на­ю­щий пред­при­ни­ма­тель 31 де­каб­ря взял в кре­дит не­ко­то­рую сумму в бес­про­цент­ном банке «Aliquot Bank». Он пла­ни­ру­ет по­га­сить кре­дит в те­че­ние года, еже­ме­сяч­но воз­вра­щая долг по сле­ду­ю­щей схеме: в ян­ва­ре Ан­дрей воз­вра­ща­ет банку по­ло­ви­ну взя­той суммы, в фев­ра­ле он воз­вра­ща­ет треть остат­ка, в марте он воз­вра­ща­ет чет­верть остат­ка и так далее в те­че­ние года, в том числе и в но­яб­ре. В де­каб­ре Ан­дрей воз­вра­ща­ет банку 100 тыс. руб. и пол­но­стью по­га­ша­ет долг. Какую сумму денег (в тыс. руб.) Ан­дрей взял в этом банке?

Найти все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых не­ра­вен­ство

имеет одно ре­ше­ние.

На длин­ной ла­воч­ке сидят в ряд 50 че­ло­век, из них ровно 44 Вла­ди­ми­ра. Каж­дый за­га­ды­ва­ет же­ла­ние, но сбы­ва­ет­ся оно толь­ко у тех, кто сидит между двумя Вла­ди­ми­ра­ми.

а)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство же­ла­ний может ис­пол­нить­ся?

б)  Может ли ис­пол­нить­ся ровно 38 же­ла­ний?

в)   Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство же­ла­ний может ис­пол­нить­ся?