В тра­пе­ции ABCD с бо­ко­вы­ми сто­ро­на­ми AB = 8 и CD = 5 бис­сек­три­са угла B пе­ре­се­ка­ет бис­сек­три­сы углов A и C в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но, а бис­сек­три­са угла D пе­ре­се­ка­ет те же две бис­сек­три­сы в точ­ках L и K, при­чем точка L лежит на ос­но­ва­нии BC.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая MK про­хо­дит через се­ре­ди­ну сто­ро­ны AB.

б)  Найти от­но­ше­ние KL : MN, если LM : KN = 4 : 7.

Пря­мая, па­рал­лель­ная ос­но­ва­ни­ям BC и AD тра­пе­ции ABCD, пе­ре­се­ка­ет бо­ко­вые сто­ро­ны AB и CD в точ­ках M и N. Диа­го­на­ли AC и BD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. Пря­мая MN пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ны OA и OD тре­уголь­ни­ка AOD в точ­ках K и L со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что MK  =  NL.

б)  Най­ди­те MN, если из­вест­но, что BC  =  3, AD  =  8 и MK : KL  =  1 : 3.

В вы­пук­лом че­ты­рех­уголь­ни­ке KLMN точки A, B, C, D  — се­ре­ди­ны сто­рон KL, LM, MN, NK со­от­вет­ствен­но. Из­вест­но, что KL = 3. От­рез­ки AC и BD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. Пло­ща­ди че­ты­рех­уголь­ни­ков KAOD, LAOB и NDOC равны со­от­вет­ствен­но 6, 6 и 9.

а)  До­ка­жи­те, что пло­ща­ди че­ты­рех­уголь­ни­ков MCOB и NDOC равны.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка MN.

В тра­пе­ции ABCD AD и BC  — ос­но­ва­ния, O  — точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей.

а)  До­ка­жи­те, что вы­пол­ня­ет­ся ра­вен­ство

б)  Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции ABCD, если

Дан квад­рат ABCD со сто­ро­ной 7. На сто­ро­нах BC и CD даны точки M и N такие, что пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка CMN равен 14.

а)  До­ка­жи­те, что B и D  — точки ка­са­ния внев­пи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка CMN, а её центр на­хо­дит­ся на вер­ши­не A квад­ра­та ABCD.

б)  Най­ди­те угол MAN.

В вы­пук­лом пя­ти­уголь­ни­ке ABCDE диа­го­на­ли BE и CE яв­ля­ют­ся бис­сек­три­са­ми углов при вер­ши­нах B и C со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что точка E есть центр внев­пи­сан­ной окруж­но­сти для тре­уголь­ни­ков OCB, где O  — точка пе­ре­се­че­ния пря­мых CD и AB.

б)  Най­ди­те пло­щадь пя­ти­уголь­ни­ка ABCDE, если угол A равен 35°, угол D равен 145°, а пло­щадь тре­уголь­ни­ка BCE равна 11.

В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCDдиа­го­на­ли пе­ре­се­ка­ют­ся в точке О, длина диа­го­на­ли BD равна 12. Рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей, опи­сан­ных около тре­уголь­ни­ков AOD и COD, равно 16. Ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка AOB, равен 5. Найти пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD.

В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD бис­сек­три­сы углов при сто­ро­не AD делят сто­ро­ну BC точ­ка­ми M и N так, что Най­ди­те BC, если AB = 12.

В тра­пе­ции KLMN из­вест­ны бо­ко­вые сто­ро­ны KL = 36, MN = 34, верх­нее ос­но­ва­ние LM = 10 и Най­ди­те диа­го­наль LN.

Диа­го­на­ли AC и BD тра­пе­ции ABCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке Е. Найти пло­щадь тра­пе­ции, если пло­щадь тре­уголь­ни­ка AED равна 9, а точка Е делит одну из диа­го­на­лей в от­но­ше­нии 1 : 3.

Пло­щадь рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равна Угол между диа­го­на­лью и ос­но­ва­ни­ем на 20 гра­ду­сов боль­ше угла между диа­го­на­лью и бо­ко­вой сто­ро­ной. Най­ди­те ост­рый угол тра­пе­ции, если ее диа­го­наль равна 2.

Дан па­рал­ле­ло­грамм ABCD. Точка M лежит на диа­го­на­ли BD и делит ее в от­но­ше­нии 2 : 3. Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD, если пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCM равна 60.

Пе­ри­метр тра­пе­ции равен 112. Точка ка­са­ния впи­сан­ной в тра­пе­цию окруж­но­сти делит одну из бо­ко­вых сто­рон на от­рез­ки, рав­ные 8 и 18. Най­ди­те ос­но­ва­ния этой тра­пе­ции.

Диа­го­на­ли тра­пе­ции равны 13 и а вы­со­та равна 5. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

На сто­ро­не CD квад­ра­та ABCD по­стро­ен рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник CPD. Най­ди­те вы­со­ту тре­уголь­ни­ка ADP, про­ведённую из вер­ши­ны D, если из­вест­но, что сто­ро­на квад­ра­та равна 1.

В тра­пе­ции ABCD ВС и AD  — ос­но­ва­ния. Бис­сек­три­са угла А пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну CD в ее се­ре­ди­не  — точке Р.

а)  До­ка­жи­те, что ВР – бис­сек­три­са угла АВС.

б)  Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции ABCD, если из­вест­но, что AP = 8, BP = 6.

Точка E  — се­ре­ди­на сто­ро­ны AD па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD, пря­мые BE и АС вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны и пе­ре­се­ка­ют­ся в точке О.

а)  До­ка­жи­те, что пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков АОВ и СОЕ равны.

б)  Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD, если AB = 3, BC = 4.

Пусть О  — точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей вы­пук­ло­го че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD. Пе­ри­мет­ры тре­уголь­ни­ков AOB, BOC, COD и DOА равны между собой.

А)  До­ка­жи­те, что в че­ты­рех­уголь­ник ABCD можно впи­сать окруж­ность.

Б)  Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник DOA, если ра­ди­у­сы окруж­но­стей, впи­сан­ных в тре­уголь­ни­ки AOB, BOC и COD равны со­от­вет­ствен­но 3, 4 и 6.

Тра­пе­ция ABCD с уг­ла­ми при одном ос­но­ва­нии и опи­са­на около круга.

а)   До­ка­жи­те, что от­но­ше­ние пло­ща­ди тра­пе­ции к пло­ща­ди круга вы­ра­жа­ет­ся фор­му­лой

б)  Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ной тра­пе­ции ABCD, если а пло­щадь впи­сан­но­го круга равна

Диа­го­на­ли рав­но­бо­кой тра­пе­ции ABCD пе­ре­се­ка­ют­ся под пря­мым углом. ВН  — вы­со­та к боль­ше­му ос­но­ва­нию CD, EF  — сред­няя линия тра­пе­ции.

а)  До­ка­жи­те, что BH = DH.

б)  Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, если EF = 5.

В тра­пе­ции па­рал­лель­но ос­но­ва­ни­ям про­ве­де­ны че­ты­ре от­рез­ка с кон­ца­ми на бо­ко­вых сто­ро­нах: KL, MN, RS и TQ. Из­вест­но, что пер­вый от­ре­зок про­хо­дит через точку пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей тра­пе­ции, вто­рой  — делит ее на два по­доб­ных че­ты­рех­уголь­ни­ка, тре­тий  — со­еди­ня­ет се­ре­ди­ны бо­ко­вых сто­рон, чет­вер­тый раз­би­ва­ет тра­пе­цию на две рав­но­ве­ли­кие части.

а)  Най­ди­те длины этих от­рез­ков.

б)  До­ка­жи­те, что KL < MN < RS < TQ.

В рав­но­бо­кой опи­сан­ной тра­пе­ции ABCD, где угол B тупой, а BC и AD  — ос­но­ва­ния, про­ве­де­ны: 1) бис­сек­три­са угла B; 2) вы­со­та из вер­ши­ны С; 3) пря­мая, па­рал­лель­ная AB и про­хо­дя­щая через се­ре­ди­ну от­рез­ка CD.

а)  До­ка­жи­те, что все они пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между цен­тра­ми впи­сан­ной и опи­сан­ной окруж­но­стей тра­пе­ции ABCD, если из­вест­но, что BC  =  8, AD  =  18.

В тра­пе­ции ABCD пло­ща­дью, рав­ной 30, диа­го­на­ли АС и BD вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны, а ∠BAC = ∠CDB. Про­дол­же­ния бо­ко­вых сто­рон AB и CD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K.

А)  До­ка­жи­те, что тра­пе­ция ABCD  — рав­но­бед­рен­ная.

Б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка AD, если из­вест­но, что ∠ AKD=30°, а BC < AD.

В че­ты­рех­уголь­ник ABCD бис­сек­три­са угла С пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AD в точке M, а бис­сек­три­са угла А пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну BC в точке K. Из­вест­но, что AKCM  — па­рал­ле­ло­грамм.

а)  До­ка­жи­те, что ABCD  — па­рал­ле­ло­грамм.

б)  Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD, если BK = 3, AM = 2, а угол между диа­го­на­ля­ми AC и BD равен 60°.

В па­рал­ле­ло­грам­ме (от­лич­ном от ромба) про­ве­де­ны бис­сек­три­сы че­ты­рех углов.

А)  До­ка­жи­те, что в че­ты­рех­уголь­ни­ке, огра­ни­чен­ном бис­сек­три­са­ми, диа­го­на­ли равны.

Б)  Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка, огра­ни­чен­но­го бис­сек­три­са­ми, если из­вест­но, что сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма равны 3 и 5 , а угол па­рал­ле­ло­грам­ма равен 60°.

В вы­пук­лом че­ты­рех­уголь­ни­ке ABCD диа­го­на­ли AC и BD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке О. Пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков AOB и COD равны.

а)  До­ка­жи­те, что точки A и D оди­на­ко­во уда­ле­ны от пря­мой ВС.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка AOB, если из­вест­но, что AB  =  13, BC  =  10, CD  =  15, DA  =  24.

Через вер­ши­ну C квад­ра­та ABCD про­ве­де­на пря­мая, пе­ре­се­ка­ю­щая диа­го­наль BD в точке K, а се­ре­дин­ный пер­пен­ди­ку­ляр к сто­ро­не AB  — в точке M. Най­ди­те если

Про­дол­же­ния сто­рон AD и BC вы­пук­ло­го че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M, а про­дол­же­ния сто­рон AB и CD  — в точке O. От­ре­зок MO пер­пен­ди­ку­ля­рен бис­сек­три­се угла AOD. Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­дей тре­уголь­ни­ка AOD и че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD, если OA = 12, OD = 8, CD = 2.

Две пря­мые, пер­пен­ди­ку­ляр­ные сто­ро­не АС тре­уголь­ни­ка ABC, делят этот тре­уголь­ник на три рав­но­ве­ли­кие части. Из­вест­но, что от­рез­ки этих пря­мых, за­клю­чен­ные внут­ри тре­уголь­ни­ка, равны между собой и равны сто­ро­не АС. Най­ди­те углы тре­уголь­ни­ка ABC.

В ромбе ABCD со сто­ро­ной 2 и углом 60° про­ве­де­ны вы­со­ты CM и DK. Най­ди­те длину от­рез­ка MK.

На сто­ро­нах AD и BC па­рал­ле­ло­грам­ма AВCD взяты со­от­вет­ствен­но точки M и N, при­чем ВN : NC  =  1 : 3. Ока­за­лось, что пря­мые AN и АС раз­де­ли­ли от­ре­зок BM на три рав­ные части. 

а)  До­ка­жи­те, что точка M  — се­ре­ди­на сто­ро­ны АD па­рал­ле­ло­грам­ма.

б)  Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD, если из­вест­но, что пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка, огра­ни­чен­но­го пря­мы­ми АN, AС, BM и BD равна 16. 

В вы­пук­лом четырёхуголь­ни­ке ABCD точки K, M, P, E  — се­ре­ди­ны сто­рон AB, BC, CD, и DA со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что пло­щадь четырёхуголь­ни­ка KMPE равна по­ло­ви­не пло­ща­ди четырёхуголь­ни­ка ABCD.

б)  Най­ди­те боль­шую диа­го­наль четырёхуголь­ни­ка KMPE, если из­вест­но, что AC  =  6, BD  =  8, а сумма пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков AKE и CMP равна

В па­рал­ле­ло­грам­ме АВСD диа­го­наль ВD равна сто­ро­не AD.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая СD ка­са­ет­ся окруж­но­сти ω, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка АВD.

б)  Пусть пря­мая СВ вто­рич­но пе­ре­се­ка­ет ω в точке К. Най­ди­те КD : AC при усло­вии, что угол ВDA равен

Дана тра­пе­ция ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми АD и BС. Окруж­но­сти, по­стро­ен­ные на бо­ко­вых сто­ро­нах этой тра­пе­ции, как на диа­мет­рах, пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках Р и К.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые РК и ВС пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка РК, если из­вест­но, что АD  =  20, BC  =  6, AB  =  16, DC  =  14.

Диа­го­на­ли АС и СЕ пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка ABCDEF раз­де­ле­ны точ­ка­ми M и N так, что АМ : АС  =  СN : СЕ и точки В, М и N лежат на одной пря­мой.

а)   До­ка­жи­те, что точки В, О, N и D лежат на одной окруж­но­сти (точка О  — центр ше­сти­уголь­ни­ка).

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние АМ : АС.

В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD точка Е  — се­ре­ди­на сто­ро­ны АD. От­ре­зок ВЕ пе­ре­се­ка­ет диа­го­наль АС в точке Р, АB  =  PD.

а)  До­ка­жи­те, что от­ре­зок ВЕ пер­пен­ди­ку­ля­рен диа­го­на­ли АС.

б)  Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма, если АВ  =  2 см, ВС  =  3 см.

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке АВС про­ве­де­ны вы­со­ты АК, ВМ и СN. На сто­ро­не АВ вы­бра­на точка Р так, что окруж­ность опи­сан­ная около тре­уголь­ни­ка РКМ ка­са­ет­ся сто­ро­ны АВ.

а)  До­ка­жи­те, что угол КАМ равен углу МВС.

б)  Най­ди­те РN, если РА  =  30, РВ  =  10.

Точка E  — се­ре­ди­на бо­ко­вой сто­ро­ны CD тра­пе­ции ABCD. На сто­ро­не AB взяли точку K так, что пря­мые CK и AE па­рал­лель­ны. От­рез­ки CK и BE пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O.

а)  До­ка­жи­те, что CO  =  KO.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние ос­но­ва­ний тра­пе­ции BC и AD, если пло­щадь тре­уголь­ни­ка BCK со­став­ля­ет 0,09 пло­ща­ди тра­пе­ции ABCD.

В рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции ABCD ос­но­ва­ние AD в два раза боль­ше ос­но­ва­ния BC.

а)   До­ка­жи­те, что вы­со­та CH тра­пе­ции раз­би­ва­ет ос­но­ва­ние AD на от­рез­ки, один из ко­то­рых втрое боль­ше дру­го­го.

б)   Пусть O  — точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей тра­пе­ции ABCD. Най­ди­те рас­сто­я­ние от вер­ши­ны C до се­ре­ди­ны от­рез­ка OD, если BC  =  16 и AB  =  10.

а)  До­ка­жи­те, что сумма углов А, В, С, D, E в вер­ши­нах про­из­воль­ной 5‐ко­неч­ной везды равна 180° (рис. 1).

б)  Най­ди­те пло­щадь 5‐ко­неч­ной звез­ды, вер­ши­ны ко­то­рой сов­па­да­ют с пятью вер­ши­на­ми пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка, если из­вест­но, что сто­ро­на по­след­не­го равна 6 (рис. 2).

В тре­уголь­ни­ке АВС точка М  — се­ре­ди­на АС.

а)  До­ка­жи­те, что длина от­рез­ка ВМ боль­ше по­лу­раз­но­сти, но мень­ше по­лу­сум­мы длин сто­рон АВ и ВС.

б)  Окруж­ность про­хо­дит через точки В, С, М. Най­ди­те хорду этой окруж­но­сти, ле­жа­щую на пря­мой АВ, если из­вест­но, что АВ  =  5, ВС  =  3, ВМ  =  2.

В тра­пе­ции ABCD BC||AD, Пря­мая, пер­пен­ди­ку­ляр­ная

сто­ро­не CD, пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну АВ в точке М, а сто­ро­ну CD  — в точке N.

а)  До­ка­жи­те по­до­бие тре­уголь­ни­ков АВN и DCM

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки А до пря­мой ВN, если МС  =  5, ВN  =  3, а рас­сто­я­ние от точки D до пря­мой МС равно 6.

Два борта би­льярд­но­го стола об­ра­зу­ют угол 7°, как ука­за­но на ри­сун­ке. На столе лежит би­льярд­ный шар A, ко­то­рый ка­тит­ся без тре­ния в сто­ро­ну од­но­го из бор­тов под углом 113°. От­ра­же­ния от бор­тов аб­со­лют­но упру­гие. Сколь­ко раз шар от­ра­зит­ся от бор­тов?

На сто­ро­не BC тре­уголь­ни­ка ABC от­ме­че­на K точка так, что AK  =  4, ВК  =  9, КС  =  3. Около тре­уголь­ни­ка ABK опи­са­на окруж­ность. Через точку C и се­ре­ди­ну D сто­ро­ны AB про­ве­де­на пря­мая, ко­то­рая пе­ре­се­ка­ет окруж­ность в точке P, при­чем CP > CD и

а)  До­ка­жи­те по­до­бие тре­уголь­ни­ков АВС и АКС;

б)  Най­ди­те DP.

Пло­щадь тра­пе­ции ABCD равна 30. Точка Р  — се­ре­ди­на бо­ко­вой сто­ро­ны АВ. Точка R на бо­ко­вой сто­ро­не CD вы­бра­на так, что 2CD  =  3RD. Пря­мые AR и PD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке Q, AD  =  2BC.

а)  До­ка­жи­те, что точка Q  — се­ре­ди­на от­рез­ка AR

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка APQ.

Дан пря­мо­уголь­ник ABCD. Окруж­ность с цен­тром в точке В и ра­ди­у­сом АВ пе­ре­се­ка­ет про­дол­же­ние сто­ро­ны АВ в точке М. Пря­мая МС пе­ре­се­ка­ет пря­мую AD в точке К, а окруж­ность во вто­рой раз в точке F.

а)  До­ка­жи­те, что DK  =  DF.

б)  Най­ди­те КС, если BF  =  20, DF  =  21.

На сто­ро­не ВС тре­уголь­ни­ка АВС от­ме­че­на точка К. Ока­за­лось, что от­ре­зок АК пе­ре­се­ка­ет ме­ди­а­ну ВD в точке Е так, что АЕ  =  ВС.

а)  До­ка­жи­те, что ВК  =  КE.

б)  Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка CDEК, если из­вест­но, что АВ  =  13, АЕ  =  7, АD  =  4.

В че­ты­рех­уголь­ни­ке ABCD диа­го­на­ли AC и BD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K. Точки L и M яв­ля­ют­ся со­от­вет­ствен­но се­ре­ди­на­ми сто­рон BC и AD. От­ре­зок LM со­дер­жит точку K. Че­ты­рех­уголь­ник ABCD таков, что в него можно впи­сать окруж­ность.

а)  До­ка­жи­те, что че­ты­рех­уголь­ник ABCD тра­пе­ция.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус этой окруж­но­сти, если и

В че­ты­рех­уголь­ни­ке ABCD через каж­дую его вер­ши­ну про­ве­де­на пря­мая, про­хо­дя­щая через центр впи­сан­ной в него окруж­но­сти. Три из этих пря­мых об­ла­да­ют тем свой­ством, что каж­дая из них делит пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка на две рав­но­ве­ли­кие части.

а)  До­ка­жи­те, что и чет­вер­тая пря­мая об­ла­да­ет тем же свой­ством.

б)  Какие зна­че­ния могут при­ни­мать углы этого че­ты­рех­уголь­ни­ка, если один из них равен 108°?

Точка N делит диа­го­наль тра­пе­ции ABCD в от­но­ше­нии Длины ос­но­ва­ний BC и AD от­но­сят­ся как Через точку N и вер­ши­ну D про­ве­де­на пря­мая, пе­ре­се­ка­ю­щая бо­ко­вую сто­ро­ну AB в точке M.

а)  Какую часть пло­ща­ди тра­пе­ции со­став­ля­ет пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка MBCN?

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка MN, если

Точки K и L яв­ля­ют­ся се­ре­ди­на­ми бо­ко­вых сто­рон AB и BC рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC. Точка M рас­по­ло­же­на на ме­ди­а­не AL так, что Окруж­ность ω с цен­тром в точке M ка­са­ет­ся пря­мой AC и пе­ре­се­ка­ет пря­мую KL в точ­ках P и Q,

а)  Найти ра­ди­ус окруж­но­сти ω.

б)  Найти пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка ABC.

Внут­ри па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD взята точка K так, что тре­уголь­ник CKD рав­но­сто­рон­ний. Из­вест­но, что рас­сто­я­ния от точки K до пря­мых AD, AB и BC равны со­от­вет­ствен­но 3, 6 и 5.

а)  Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма.

б)  Окруж­ность, опи­сан­ная около тре­уголь­ни­ка CKD пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AD в точке P. Най­ди­те от­но­ше­ние

На ос­но­ва­ни­ях AD и BC тра­пе­ции ABCD по­стро­е­ны квад­ра­ты ADMN и BCRS, рас­по­ло­жен­ные вне тра­пе­ции. Диа­го­на­ли тра­пе­ции пе­ре­се­ка­ют­ся в точке T.

а)  До­ка­жи­те, что цен­тры квад­ра­тов и точка T лежат на одной пря­мой.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка RN, если а

В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD про­ве­де­на диа­го­наль АС. Точка О яв­ля­ет­ся цен­тром окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC. Рас­сто­я­ния от точки О до точки А и пря­мых AD и AC равны со­от­вет­ствен­но 10, 8 и 6.

а)  До­ка­жи­те, что ABCD  — пря­мо­уголь­ник.

б)  Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD.

Дана тра­пе­ция ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми сто­ро­на Про­дол­же­ния бо­ко­вых сто­рон пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K, об­ра­зуя пря­мой угол AKD. Окруж­ность ω про­хо­дит через точки А и В и ка­са­ет­ся сто­ро­ны CD в точке P.

а)  Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти ω.

Окруж­ность с цен­тром O ка­са­ет­ся диа­го­на­ли AC и сто­рон AB и BC па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD. Рас­сто­я­ния от точки О до пря­мых AD и AC равны 8 и 6 со­от­вет­ствен­но, OA  =  10.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC  — пря­мо­уголь­ный.

б)  Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD.

В пя­ти­уголь­ни­ке A₁A₂A₃A₄A₅ пло­ща­ди всех тре­уголь­ни­ков A₁A₂A₃, A₂A₃A₄, A₃A₄A₅, A₄A₅A₁, A₅A₁A₂ равны 1.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая A₁A₂ па­рал­лель­на пря­мой A₃A₅.

б)  Най­ди­те пло­щадь пя­ти­уголь­ни­ка A₁A₂A₃A₄A₅.

На ги­по­те­ну­зе KL рав­но­бед­рен­но­го пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка KLM вне тре­уголь­ни­ка по­стро­ен квад­рат KLPQ. Пря­мая MQ пе­ре­се­ка­ет ги­по­те­ну­зу KL в точке N.

а)  До­ка­жи­те, что KN : NL  =  1 : 2.

б)  Пря­мая, про­хо­дя­щая через точку N пер­пен­ди­ку­ляр­но MQ, пе­ре­се­ка­ет от­ре­зок LP в точке R. Най­ди­те LR, ели KQ  =  9.

Дана тра­пе­ция ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми AD и BC, ко­то­рой AB  =  CD, AC  =  AD, ∠CAD = ∠CDM, а M  — се­ре­ди­на ос­но­ва­ния BC.

а)  До­ка­жи­те, что ост­рый угол при ос­но­ва­нии тра­пе­ции равен 75°.

б)  Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, если ее мень­шее ос­но­ва­ние равно 2.

В тра­пе­ции KLMN ос­но­ва­ния LM и KN равны 2 и 8 со­от­вет­ствен­но. Из точки Е, ле­жа­щей на сто­ро­не MN, опу­щен пер­пен­ди­ку­ляр EF на сто­ро­ну KL. Из­вест­но, что F  — се­ре­ди­на сто­ро­ны KL, FM  =  3 и что пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка KFEN в че­ты­ре раза боль­ше пло­ща­ди че­ты­рех­уголь­ни­ка LFEM.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые FN и LE па­рал­лель­ны.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка FN.

На сто­ро­не АВ тре­уголь­ни­ка АВС взята точка D таким об­ра­зом, что и Через се­ре­ди­ну от­рез­ка CD про­ве­де­на пря­мая, пе­ре­се­ка­ю­щая сто­ро­ны АС и ВС в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но. Из­вест­но, что пло­щадь тре­уголь­ни­ка MCN равна а рас­сто­я­ние от точки М до пря­мой АВ в два раза боль­ше рас­сто­я­ния от точки N до этой же пря­мой.

а)  До­ка­жи­те, что че­ты­рех­уголь­ник СMDN  — па­рал­ле­ло­грамм.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка АВС.

В тра­пе­ции АВСD ос­но­ва­ния ВС и АD равны 3 и 9 со­от­вет­ствен­но. Из точки К, ле­жа­щей на сто­ро­не СD, опу­щен пер­пен­ди­ку­ляр КL, на сто­ро­ну АВ. Из­вест­но, что L  — се­ре­ди­на сто­ро­ны АВ, СL  =  4 и что пло­щадь четырёхуголь­ни­ка АLKD в 3 раза боль­ше пло­ща­ди четырёхуголь­ни­ка ВСКL.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые ВK и DL па­рал­лель­ны.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка DL.

На бо­ко­вых сто­ро­нах AB и AC рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC от­ло­же­ны рав­ные от­рез­ки AP и CQ со­от­вет­ствен­но (точки Р и Q не яв­ля­ют­ся се­ре­ди­на­ми сто­рон AB и AC).

а)  До­ка­жи­те, что сред­няя линия тре­уголь­ни­ка АBC, па­рал­лель­ная его ос­но­ва­нию ВC, делит от­ре­зок PQ по­по­лам.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка пря­мой PQ, за­клю­чен­но­го внут­ри впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC, если и

Пря­мая p, па­рал­лель­ная ос­но­ва­ни­ям BC и AD тра­пе­ции ABCD, пе­ре­се­ка­ет пря­мые AB, AC, BD и CD в точ­ках E, F, G и H со­от­вет­ствен­но, причём EF = FG.

а)  До­ка­жи­те, что точки пе­ре­се­че­ния пря­мой p с диа­го­на­ля­ми AC и BD делят от­ре­зок EН на три рав­ных части;

б)  Най­ди­те EF, если BC = 3, AD = 4.