а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка O₁  — центр квад­ра­та ABCD, точка O₂  — центр квад­ра­та CC₁D₁D.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые A₁O₁ и B₁O₂ скре­щи­ва­ют­ся.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми A₁O₁ и B₁O₂, если ребро куба равно 1.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

В пя­ти­уголь­ни­ке A₁A₂A₃A₄A₅ пло­ща­ди всех тре­уголь­ни­ков A₁A₂A₃, A₂A₃A₄, A₃A₄A₅, A₄A₅A₁, A₅A₁A₂ равны 1.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая A₁A₂ па­рал­лель­на пря­мой A₃A₅.

б)  Най­ди­те пло­щадь пя­ти­уголь­ни­ка A₁A₂A₃A₄A₅.

1 фев­ра­ля 2018 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит на сумму 1 млн руб­лей. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  1 марта каж­до­го года сумма долга уве­ли­чи­ва­ет­ся на 2% по срав­не­нию с на­ча­лом года;

—  с 1 мая по 1 ав­гу­ста не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

—  1 фев­ра­ля каж­до­го года долг дол­жен рав­нять­ся сумме в со­от­вет­ствии с таб­ли­цей.

Пер­вые n лет долг умень­шал­ся рав­но­мер­но на 15 тысяч руб­лей, а сле­ду­ю­щие n лет долг умень­шал­ся рав­но­мер­но на x тысяч руб­лей. В каком году пла­ни­ру­ет­ся со­вер­шить по­след­ний пла­теж, если общая сумма вы­плат равна 1 346 000 руб­лей?

Най­ди­те зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет ровно одно ре­ше­ние.

В клас­се учит­ся 15 маль­чи­ков и n де­во­чек. Ана­ли­зи­руя успе­ва­е­мость уча­щих­ся по пред­ме­ту за по­лу­го­дие, завуч за­ме­тил, что общее ко­ли­че­ство оце­нок в жур­на­ле со­став­ля­ет n² + 13n − 2, причём все уче­ни­ки имеют оди­на­ко­вое ко­ли­че­ство оце­нок.

а)  Может ли в клас­се быть 16 де­во­чек?

б)  Сколь­ко может быть де­во­чек в клас­се?

в)  Сколь­ко оце­нок по­лу­чил каж­дый уче­ник по пред­ме­ту за по­лу­го­дие?