Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Окружность с центром O касается диагонали AC и сторон AB и BC параллелограмма ABCD. Расстояния от точки О до прямых AD и AC равны 8 и 6 соответственно, OA = 10.
а) Докажите, что треугольник ABC — прямоугольный.
б) Найдите площадь параллелограмма ABCD.
Решение.
Спрятать критерии
а) Пусть M — точка касания окружности и AB, N — точка касания окружности и AC, OH — перпендикуляр из точки O на AD. Тогда 
следовательно,
Значит, 
Следовательно, 
и 
Отсюда AMOH — параллелограмм с прямым углом, следовательно, AMOH — прямоугольник. Значит,
б) Имеем:
Пусть 
тогда
Далее, получаем:
Теперь найдём площадь параллелограмма ABCD:
Ответ: 672.
Классификатор планиметрии: Окружности, Окружность, вписанная в треугольник