СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 527557

В параллелограмме ABCD проведена диагональ АС. Точка О является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки О до точки А и прямых AD и AC равны соответственно 10, 8 и 6.

а) Докажите, что ABCD — прямоугольник.

б) Найдите площадь параллелограмма ABCD.

Решение.

а) Обозначим за M и N основания перпендикуляров, опущенных из O на AB и AD соответственно. Очевидно потому что это радиусы вписанной окружности треугольника ABC. Тогда

и прямоугольные треугольники AOM и ANO равны по гипотенузе и катету. Следовательно

поэтому ABCD — прямоугольник.

б) В прямоугольном треугольнике ABC радиус вписанной окружности равен 6, поэтому Пусть тогда (здесь за x обозначена длина отрезка от вершины C до точек касания со сторонами CB и CA). По теореме Пифагора имеем

Значит, и

 

Ответ: б) 672.

Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 269.
Классификатор планиметрии: Многоугольники, Окружность, вписанная в треугольник