В равнобокой описанной трапеции ABCD, где угол B тупой, а BC и AD — основания, проведены: 1) биссектриса угла B; 2) высота из вершины С; 3) прямая, параллельная AB и проходящая через середину отрезка CD.
а) Докажите, что все они пересекаются в одной точке.
б) Найдите расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей трапеции ABCD, если известно, что BC = 8, AD = 18.
а) Задачу решим с максимально возможным привлечением метода координат. Поместим трапецию в декартову систему координат, как показано на рисунке.
Пусть: r — радиус вписанной окружности; 
— абсциссы вершин D и C соответственно, 
— середина отрезка 
Тогда:
Уравнение прямой 
Найдем угловой коэффициент 
прямой АВ. 
Уравнение прямой, проходящей через точку F, параллельно прямой АВ, имеет вид:
Найдем точку пересечения этой прямой и прямой AD, для чего решим систему:
Таким образом, оказалось, что найденная прямая пересекает прямую AD в точке 
Так как центр вписанной окружности лежит на биссектрисе угла 
то, зная координаты точек 
и 
можно получить уравнение биссектрисы.
Теперь найдем координаты пересечения прямых AD и 
Оказалось, что биссектриса угла пересекает прямую AD в точке 
Доказательство требуемого завершено.
б) Из условия получим: 
По признаку окружности , вписанной в четырехугольник:
Это — с одной стороны, с другой же стороны — 
Значит, 
Очевидно, центры обеих окружностей лежат на оси симметрии трапеции. Обозначим центр описанной окружности 
Она лежит на пересечении серединного перпендикуляра к прямой 
и прямой 
Угловой коэффициент 
прямой 
А угловой коэффициент 
прямой, перпендикулярной CD, будет:
Уравнение прямой, проходящей через точку F с угловым коэффициентом будет иметь вид: 
или 
Теперь найдем координаты точки K (точки пересечения оси симметрии трапеции и серединного перпендикуляра к отрезку BD).
Найденная ордината точки K и будет равна расстоянию между центрами двух окружностей.
Ответ: б) 