Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д15 C4 № 527418

Внутри параллелограмма ABCD взята точка K так, что треугольник CKD равносторонний. Известно, что расстояния от точки K до прямых AD, AB и BC равны соответственно 3, 6 и 5.

а) Найдите площадь параллелограмма.

б) Окружность, описанная около треугольника CKD пересекает сторону AD в точке P. Найдите отношение AP:AD.

Спрятать решение

Решение.

Опустим из точки K перпендикуляры на стороны параллелограмма. По условию KL=3; KT=6; KM=5. Пусть CK=2x, тогда KN — высота равностороннего треугольника со стороной 2x и равна x корень из 3. По теореме Пифагора из треугольников CKM и DKL имеем CM= корень из 4x в квадрате минус 25, DL= корень из 4x в квадрате минус 9.

а) Проведем в прямоугольной трапеции MCDL высоту

CT=ML=MK плюс KL=8.

Тогда

 TD=DL минус TL=DL минус CM= корень из 4x в квадрате минус 9 минус корень из 4x в квадрате минус 25.

Запишем теорему Пифагора для треугольника CTD

4x в квадрате =64 плюс левая круглая скобка корень из 4x в квадрате минус 9 минус корень из 4x в квадрате минус 25 правая круглая скобка в квадрате равносильно 4x в квадрате =64 плюс 8x в квадрате минус 34 минус 2 корень из 4x в квадрате минус 9 корень из 4x в квадрате минус 25 равносильно

 равносильно корень из 4x в квадрате минус 9 корень из 4x в квадрате минус 25=2x в квадрате плюс 15 равносильно 16x в степени 4 минус 136x в квадрате плюс 225=4x в степени 4 плюс 60x в квадрате плюс 225 равносильно 12x в степени 4 минус 196x в квадрате =0 равносильно

 равносильно совокупность выражений x=0 левая круглая скобка невозможно, к тому же это посторонний корень правая круглая скобка ,x в квадрате = дробь: числитель: 196, знаменатель: 12 конец дроби = дробь: числитель: 49, знаменатель: 3 конец дроби . конец совокупности .

Итак, x= дробь: числитель: 7, знаменатель: корень из 3 конец дроби и KN=7. Тогда

S_ABCD=CD умножить на TN=2x умножить на левая круглая скобка TK плюс KN правая круглая скобка =2x умножить на левая круглая скобка 6 плюс 7 правая круглая скобка = дробь: числитель: 182, знаменатель: корень из 3 конец дроби .

б) Для начала найдем AD. Поскольку S_ABCD=ML умножить на AD, получаем AD= дробь: числитель: 182, знаменатель: 8 корень из 3 конец дроби = дробь: числитель: 91, знаменатель: 4 корень из 3 конец дроби . Далее:

\angle KPD=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle KCD=120 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .

По теореме синусов для треугольника PKD получаем

 дробь: числитель: PD, знаменатель: синус \angle PKD конец дроби = дробь: числитель: KD, знаменатель: синус KPD конец дроби = дробь: числитель: 28, знаменатель: 3 конец дроби .

Значит

PD= дробь: числитель: 28, знаменатель: 3 конец дроби умножить на синус \angle PKD= дробь: числитель: 28, знаменатель: 3 конец дроби умножить на синус левая круглая скобка 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle PDK правая круглая скобка =

= дробь: числитель: 28, знаменатель: 3 конец дроби умножить на синус левая круглая скобка 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle KDC минус \angle DCK минус \angle PDK правая круглая скобка =

= дробь: числитель: 28, знаменатель: 3 конец дроби умножить на синус \angle MCK= дробь: числитель: 28, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: MK, знаменатель: CK конец дроби = дробь: числитель: 28, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: 5, знаменатель: дробь: числитель: 14, знаменатель: корень из 3 конец дроби конец дроби = дробь: числитель: 10, знаменатель: корень из 3 конец дроби .

Тогда

AP=AD минус PD= дробь: числитель: 51, знаменатель: 4 корень из 3 конец дроби и AP:AD=51:91.

 

Ответ: а)  дробь: числитель: 182, знаменатель: корень из 3 конец дроби ; б) 51:91.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б3
Получен обоснованный ответ в пункте б

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл3
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 258.
Методы геометрии: Теорема синусов
Классификатор планиметрии: Многоугольники