Пусть О — точка пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника ABCD. Периметры треугольников AOB, BOC, COD и DOА равны между собой.
А) Докажите, что в четырехугольник ABCD можно вписать окружность.
Б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник DOA, если радиусы окружностей, вписанных в треугольники AOB, BOC и COD равны соответственно 3, 4 и 6.
На первый взгляд, представляется правдоподобным следующее решение.
а) Из равенства 
получаем 
поэтому в четырехугольник ABCD можно вписать окружность.
б) При разбиении четырёхугольника диагоналями на 4 треугольника площади их таковы, что 
(*). Пусть p — полупериметр каждого из данных треугольников, тогда из (*) получаем: 
откуда находим искомый радиус: 
(Известное свойство (*) нетрудно доказать, пользуясь тем, что площадь каждого из треугольников равна половине произведения сторон на синус заключенного между ними угла.)
Ответ: 4,5.
Но на самом деле всё не так.
Действительно, треугольники AOB и BOC имеют общую высоту, поэтому
Аналогично, BO : DO = 2 : 3. Следовательно, AO < CO, BO < DO, и поэтому AB < CD. Значит, периметр треугольника AOB меньше периметра треугольника COD. Описанная в условии конфигурация не существует. Можно проверить, что если периметры треугольников равны, то исходный четырёхугольник — ромб. Тогда радиусы вписанных окружностей также равны друг другу.