Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д15 C4 № 521442
i

а)  До­ка­жи­те, что сумма углов А, В, С, D, E в вер­ши­нах про­из­воль­ной 5‐ко­неч­ной везды равна 180° (рис. 1).

б)  Най­ди­те пло­щадь 5‐ко­неч­ной звез­ды, вер­ши­ны ко­то­рой сов­па­да­ют с пятью вер­ши­на­ми пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка, если из­вест­но, что сто­ро­на по­след­не­го равна 6 (рис. 2).

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Сумма внеш­них углов внут­рен­не­го пя­ти­уголь­ни­ка равна 360 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка . Сумма всех углов пяти тре­уголь­ни­ков-лучей звез­ды равна 5 умно­жить на 180 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка =900 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка ,из ко­то­рых 2 умно­жить на 360 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка при­хо­дят­ся на углы, при­ле­га­ю­щие к пя­ти­уголь­ни­ку (два на­бо­ра его внеш­них углов). По­это­му сумма углов при вер­ши­нах равна 900 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус 720 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка =180 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка .

б)  Обо­зна­чим AD\cap CF=G, AD\cap CE=H, DF\cap CE=I, DF\cap AE=J, AE\cap CF=K. Тогда

S_AGCHDIEJKF=S_CGH плюс S_ADEF минус S_DIE минус S_FJE минус S_AKF=

= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби S_CFE плюс S_AJD плюс S_FJE плюс левая круг­лая скоб­ка S_AJF плюс S_JED пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2S_FJE минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби S_AFE=

= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби S_CFE плюс S_AJD плюс 2S_AJF минус S_FJE минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби S_HFE= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби S_CFE плюс S_AJD плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: S_FJE конец ар­гу­мен­та умно­жить на S_AJD минус S_FJE минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби S_CFE=

=4S_FJE плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: S_FJE конец ар­гу­мен­та умно­жить на 4 S_FJE минус S_FJE=7S_FJE= дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби S_ADEF=

= дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 18 конец дроби левая круг­лая скоб­ка AD плюс EF пра­вая круг­лая скоб­ка EH=7EH= дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби CE= дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та =21 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

Ответ: б) 21 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б.3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б.

ИЛИ

Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а.

ИЛИ

При обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

ИЛИ

Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б и ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а, при этом пункт а не вы­пол­нен.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 211
Классификатор планиметрии: Мно­го­уголь­ни­ки, Пра­виль­ный ше­сти­уголь­ник
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025