Диагонали АС и СЕ правильного шестиугольника ABCDEF разделены точками M и N так, что АМ : АС = СN : СЕ и точки В, М и N лежат на одной прямой.
а) Докажите, что точки В, О, N и D лежат на одной окружности (точка О — центр шестиугольника).
б) Найдите отношение АМ : АС.
а) Определим точку M как точку пересечения BN и
Докажем, что если 
то условие задачи выполняется. Очевидно при увеличении CN будет уменьшаться AM и наоборот, поэтому ситуация равных отношений возможна лишь один раз.
Итак, пусть 
тогда 
Значит, 
тогда по теореме синусов 
откуда 
и Значит, 
б) Центр описанной окружности треугольника BOD — точка C и радиус ее равен стороне шестиугольника. 
Ответ: б) 