В параллелограмме ABCD биссектрисы углов при стороне AD делят сторону BC точками M и N так, что 
Найдите BC, если AB = 12.
Случай 1. Биссектрисой угла А является луч АМ, биссектрисой угла D — луч DN (рис. 1). В данном случае пересечение биссектрис АМ и DN будет за пределами параллелограмма. В противном случае отношение 
выполняться не будет.
Имеем: 
(по условию), 
как внутренние накрест лежащие при параллельных ВС и AD, секущей АМ. Значит, 
по свойству транзитивности равенства. Отсюда BM = AB = 12.
Аналогично NC = CD = AB = 12. Из условия задачи следует, что 
Тогда
ВС = ВМ + MN + NС = 12 + 84 + 12 = 108.
Случай 2. Биссектрисой угла А является луч АN, биссектрисой угла D — луч DM (рис. 2). Пересечение АN и DМ будет внутри параллелограмма, поскольку MN > BM.
Аналогично случаю 1 получаем: 
Пусть 
тогда 
откуда 
Следовательно, BM = 12, и 
Ответ: 13,5; 108.