а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са с вер­ши­ной S равен 8, а вы­со­та ко­ну­са SO равна Точка M  — се­ре­ди­на об­ра­зу­ю­щей SA ко­ну­са, а точки B и N лежат в плос­ко­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са так, что от­ре­зок SB  — об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са, а пря­мая MN па­рал­лель­на SB.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая AB пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти SON.

б)  Най­ди­те угол между пря­мой ВМ и плос­ко­стью ос­но­ва­ния ко­ну­са, если AB  =  10.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Пра­ви­тель­ство ре­ши­ло за­крыть не­рен­та­бель­ные шахты и по­стро­ить новые фаб­ри­ки и за­во­ды. В ре­зуль­та­те за­кры­тия одной шахты уволь­ня­ет­ся 180 че­ло­век, при этом на кон­сер­ва­цию шахты и вы­пла­ту по­со­бий уволь­ня­е­мым тра­тит­ся 52 мил­ли­о­на руб­лей. Стро­и­тель­ство од­но­го но­во­го за­во­да с пер­со­на­лом 170 че­ло­век стоит 43 млн руб., а одной фаб­ри­ки с пер­со­на­лом 110 че­ло­век  — 20 млн руб. Чему равно мак­си­маль­но воз­мож­ное уве­ли­че­ние сум­мар­но­го числа новых ра­бо­чих мест, если из­вест­но, что сумма всех за­трат пра­ви­тель­ства со­ста­ви­ла ровно 714 млн руб.?

На бо­ко­вых сто­ро­нах AB и AC рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC от­ло­же­ны рав­ные от­рез­ки AP и CQ со­от­вет­ствен­но (точки Р и Q не яв­ля­ют­ся се­ре­ди­на­ми сто­рон AB и AC).

а)  До­ка­жи­те, что сред­няя линия тре­уголь­ни­ка АBC, па­рал­лель­ная его ос­но­ва­нию ВC, делит от­ре­зок PQ по­по­лам.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка пря­мой PQ, за­клю­чен­но­го внут­ри впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC, если и

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра b, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

На доске на­пи­са­ли n не­обя­за­тель­но раз­лич­ных дей­стви­тель­ных чисел: a₁, a₂, ..., a_n, каж­дое из ко­то­рых не мень­ше 80 и не боль­ше 120. Затем по­лу­чи­ли ровно n чисел b₁, b₂, ..., b_n сле­ду­ю­щим об­ра­зом. Каж­дое из чисел a_i, умень­ши­ли одним из двух спо­со­бов:

Пусть для всех

а)  Могло ли ока­зать­ся так, что сред­нее ариф­ме­ти­че­ское n чисел r₁, ..., r_n равно 3?

б)  Могло ли ока­зать­ся так, что сред­нее ариф­ме­ти­че­ское n чисел r₁, ..., r_n равно 4, а сумма n чисел a₁, a₂, ..., a_n, умень­ши­лась при этом мень­ше, чем на 4n?

в)  Пусть на доске было на­пи­са­но 22 числа, а после вы­пол­не­ния ука­зан­ной опе­ра­ции их сумма умень­ши­лась на 80. Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го чисел r₁, ..., r_n.