Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д15 C4 № 514577
i

В вы­пук­лом четырёхуголь­ни­ке ABCD точки K, M, P, E  — се­ре­ди­ны сто­рон AB, BC, CD, и DA со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что пло­щадь четырёхуголь­ни­ка KMPE равна по­ло­ви­не пло­ща­ди четырёхуголь­ни­ка ABCD.

б)  Най­ди­те боль­шую диа­го­наль четырёхуголь­ни­ка KMPE, если из­вест­но, что AC  =  6, BD  =  8, а сумма пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков AKE и CMP равна 3 ко­рень из 3 .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  По­сколь­ку KE  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ABD, то S_AKE= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби S_ABD. Ана­ло­гич­но S_MPC= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби S_BCD, по­это­му тре­уголь­ни­ки AKE и MCP имеют сум­мар­ную пло­щадь дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби S_ABCD. Ана­ло­гич­но и тре­уголь­ни­ки BKM и EPD. Зна­чит, на долю KMPE при­хо­дит­ся S_ABCD умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 1 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби S_ABCD, что и тре­бо­ва­лось.

б)  Как сле­ду­ет из рас­суж­де­ний пунк­та a, KM\parallel AC\parallel EP и KM= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби AC=EP, по­это­му KMPE  — па­рал­ле­ло­грамм. При­чем

KM= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби AC=3, KE= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби BD=4, S_KMPE= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби S_ABCD=2 левая круг­лая скоб­ка S_AKE плюс S_CMP пра­вая круг­лая скоб­ка =6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

Зна­чит, 3 умно­жить на 4 умно­жить на синус \angle KMP=6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , от­ку­да углы па­рал­ле­ло­грам­ма  — 60° и 120°. В таком слу­чае его боль­шая диа­го­наль равна по тео­ре­ме ко­си­ну­сов ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 в квад­ра­те плюс 4 в квад­ра­те минус 2 умно­жить на 3 умно­жить на 4 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 37 конец ар­гу­мен­та .

 

Ответ: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 37 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б.3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б.

ИЛИ

Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а.

ИЛИ

При обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

ИЛИ

Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б и ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а, при этом пункт а не вы­пол­нен.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 157
Методы геометрии: Тео­ре­ма ко­си­ну­сов
Классификатор планиметрии: Мно­го­уголь­ни­ки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025