Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д15 C4 № 545523

На гипотенузе KL равнобедренного прямоугольного треугольника KLM вне треугольника построен квадрат KLPQ. Прямая MQ пересекает гипотенузу KL в точке N.

а)  Докажите, что KN : NL = 1 : 2.

б)  Прямая, проходящая через точку N перпендикулярно MQ, пересекает отрезок LP в точке R. Найдите LR, ели KQ = 9.

Спрятать решение

Решение.

а)  Пусть MH  — высота треугольника KLM. Тогда MH= дробь: числитель: KL, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: KQ, знаменатель: 2 конец дроби . Таким образом,  дробь: числитель: KN, знаменатель: NH конец дроби = дробь: числитель: KQ, знаменатель: MH конец дроби = дробь: числитель: 2, знаменатель: 1 конец дроби .

Тогда

 дробь: числитель: KN, знаменатель: NL конец дроби = дробь: числитель: KH минус NH, знаменатель: NH плюс HL конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .

 

б)  Вычислим \angle LNR = 90 градусов минус \angle MNH = \angle HMN, таким образом, треугольники MHN и NLR подобны. Тогда

 дробь: числитель: LR, знаменатель: NH конец дроби = дробь: числитель: NL, знаменатель: MH конец дроби = дробь: числитель: дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби KQ, знаменатель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби KQ конец дроби = дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби ,

следовательно,

LR= дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби NH = дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби KQ = 2.

 

Ответ: б) 2.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б3
Получен обоснованный ответ в пункте б

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл3
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 313. (Часть C)