Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д15 C4 № 511864

В четырехугольник ABCD биссектриса угла С пересекает сторону AD в точке M, а биссектриса угла А пересекает сторону BC в точке K. Известно, что AKCM — параллелограмм.

а) Докажите, что ABCD — параллелограмм.

б) Найдите площадь четырехугольника ABCD, если BK = 3, AM = 2, а угол между диагоналями AC и BD равен 60°.

Спрятать решение

Решение.

а) Поскольку AKCM — параллелограмм и KCBC, AMAD, BC || AD, KC = AM.

Из того, что AKCM — параллелограмм также следует: AK = MC,KAD = ∠CMD как соответственные при параллельных AK, МС и секущей AD.

Угол AKB равен углу KAD как накрест лежащие при параллельных BC, AD и секущей AK, угол BAK равен DAK по условию, значит, угол BAK равен углу BKA, откуда BK = AB.

Аналогично можно доказать равнобедренность треугольника CDM, т. е. CD = MD.

Рассмотрим равнобедренные треугольники ABK и CDM. У них: ∠ KAD = ∠ CMD, AK = MC (эти равенства показаны выше), следовательно, Δ ABK = Δ CDM. По второму признаку равенства треугольников. Отсюда сразу же следует, что BK = MD.

Таким образом,

 система выражений  новая строка BC=BK плюс KC , новая строка AD=AM плюс MD , новая строка BK=MD , новая строка KC=AM конец системы . \Rightarrow BC=AD.

 система выражений  новая строка BC||AD , новая строка BC=AD конец системы . \Rightarrow (ABCD — параллелограмм по признаку параллелограмма), что и требовалось доказать.

б)  Для удобства введем обозначения: пусть AB = a, AD = b, AC = d1, BD = d2, O — точка пересечения диагоналей.

Острый угол между АС и BD обозначим α, тупой — β.

Рассмотрим Δ AOD и Δ AOB. По теореме косинусов:

b в квадрате = дробь: числитель: d_1 в квадрате , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: d_2 в квадрате , знаменатель: 4 конец дроби минус 2 умножить на дробь: числитель: d_1 умножить на d_2, знаменатель: 4 конец дроби косинус бета ;b в квадрате = дробь: числитель: d_1 в квадрате , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: d_2 в квадрате , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: d_1 умножить на d_2, знаменатель: 2 конец дроби косинус альфа левая круглая скобка * правая круглая скобка

 

a в квадрате = дробь: числитель: d_1 в квадрате , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: d_2 в квадрате , знаменатель: 4 конец дроби минус 2 умножить на дробь: числитель: d_1 умножить на d_2, знаменатель: 4 конец дроби косинус альфа ;a в квадрате = дробь: числитель: d_1 в квадрате , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: d_2 в квадрате , знаменатель: 4 конец дроби минус дробь: числитель: d_1 умножить на d_2, знаменатель: 2 конец дроби косинус альфа левая круглая скобка ** правая круглая скобка

Вычитаем почленно равенство (**) из равенства (*).

Получаем: b в квадрате минус a в квадрате =d_1d_2 косинус альфа левая круглая скобка *** правая круглая скобка , откуда d_1d_2= дробь: числитель: b в квадрате минус a в квадрате , знаменатель: косинус альфа конец дроби .

Но для площади любого выпуклого четырехугольника ABCD (в том числе и параллелограмма) также справедлива формула

S левая круглая скобка ABCD правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби d_1d_2 синус альфа .

Следовательно,

S левая круглая скобка ABCD правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби d_1d_2 синус альфа = дробь: числитель: левая круглая скобка b в квадрате минус a в квадрате правая круглая скобка синус альфа , знаменатель: 2 косинус альфа конец дроби = дробь: числитель: левая круглая скобка b в квадрате минус a в квадрате правая круглая скобка тангенс альфа , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 25 минус 9, знаменатель: 2 конец дроби умножить на корень из 3=8 корень из 3.

 

Ответ: б) 8 корень из 3.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б.3
Получен обоснованный ответ в пункте б.

ИЛИ

Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а.

ИЛИ

При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

ИЛИ

Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл3
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 114.
Методы геометрии: Теорема косинусов
Классификатор планиметрии: Многоугольники