Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д15 C4 № 527319

Точка N делит диагональ трапеции ABCD в отношении CN:NA=2:1. Длины оснований BC и AD относятся как 1:3. Через точку N и вершину D проведена прямая, пересекающая боковую сторону AB в точке M.

а) Какую часть площади трапеции составляет площадь четырехугольника MBCN?

б) Найдите длину отрезка MN, если MD=9.

Спрятать решение

Решение.

Продолжим DN до пересечения с продолжением CB в точке T. Треугольники AND и CNT подобны с коэффициентом AN:NC=1:2, поэтому TC=2AD=6BC, TB=6BC минус BC=5BC. По теореме Менелая для треугольника CAB и прямой NMT имеем:  дробь: числитель: CN, знаменатель: NA конец дроби умножить на дробь: числитель: AM, знаменатель: MB конец дроби умножить на дробь: числитель: BT, знаменатель: TC конец дроби , откуда AM:MB=3:5.

 

а) Далее, AM:AB=3:8, поэтому:

S_BMNC=S_ABC минус S_AMN=S_ABC минус дробь: числитель: AM, знаменатель: AB конец дроби умножить на дробь: числитель: AN, знаменатель: NC конец дроби умножить на S_ABC=S_ABC левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка =

= дробь: числитель: 7, знаменатель: 8 конец дроби S_ABC= дробь: числитель: 7, знаменатель: 8 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби d левая круглая скобка A,BC правая круглая скобка умножить на BC= дробь: числитель: 7, знаменатель: 32 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби d левая круглая скобка A,BC правая круглая скобка умножить на 4BC=

= дробь: числитель: 7, знаменатель: 32 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби d левая круглая скобка A,BC правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка BC плюс AD правая круглая скобка = дробь: числитель: 7, знаменатель: 32 конец дроби S_ABCD.

б) Обозначим высоту трапеции за h. Опустим перпендикуляры NH и MS на AD. Из подобия треугольников AND и TNC а также AMD и TMB с коэффициентами 1:2 и 3:5 следует, что и их высоты относятся так же. С другой стороны, в каждой паре треугольников сумма высот дает высоту трапеции, поэтому NH= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби h, MS= дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби h. Значит, треугольники DNH и DMS подобны с коэффициентом  дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби : дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби =8:9. Тогда ND= дробь: числитель: 8, знаменатель: 9 конец дроби MD=8 и MN=9 минус 8=1.

 

Ответ: а)  дробь: числитель: 7, знаменатель: 32 конец дроби ; б) 1.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б.3
Получен обоснованный ответ в пункте б.

ИЛИ

Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а.

ИЛИ

При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

ИЛИ

Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл3
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 252.
Методы геометрии: Теорема Менелая
Классификатор планиметрии: Многоугольники, Подобие