Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д15 C4 № 505945
i

В тра­пе­ции KLMN из­вест­ны бо­ко­вые сто­ро­ны KL = 36, MN = 34, верх­нее ос­но­ва­ние LM = 10 и ко­си­нус \angle KLM= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . Най­ди­те диа­го­наль LN.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

По усло­вию за­да­чи ко­си­нус \angle KLM= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , зна­чит, \angle KLM  — тупой, \angle LKN  — ост­рый, ко­си­нус \angle LKN= ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка 180 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус \angle KLM пра­вая круг­лая скоб­ка = минус ко­си­нус \angle KLM= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Из вер­ши­ны L опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр к KN, ос­но­ва­ние ко­то­ро­го обо­зна­чим F.

Для вы­чис­ле­ния LF най­дем синус угла LKF.

синус \angle LKF= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

LF=36 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби =24 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

Про­ве­дем LE || MN.

KF=KL умно­жить на ко­си­нус \angle LKF=36 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби =12;

FE= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: LE конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те минус LF в квад­ра­те = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: MN конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те минус LF в квад­ра­те = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 34 конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те минус 24 в квад­ра­те умно­жить на 2= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1156 минус 1152 конец ар­гу­мен­та =2.

В за­ви­си­мо­сти от ве­ли­чи­ны угла LMN воз­мож­ны два слу­чая: \angle LMN  — тупой, \angle LMN  — ост­рый.

Рас­смот­рим каж­дый из этих слу­ча­ев от­дель­но.

Слу­чай пер­вый. \angle LMN  — тупой.

Дан­ная кон­фи­гу­ра­ция за­ве­до­мо пред­по­ла­га­ет усло­вие: точка F лежит между K и Е.

FN=FE плюс EN=FE плюс LM=2 плюс 10=12. LN= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: LF конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те плюс FN в квад­ра­те = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1152 плюс 144 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1296 конец ар­гу­мен­та =36.

Слу­чай вто­рой. \angle LMN  — ост­рый. Точка Е лежит между K и F.

Тогда будем иметь: FN=EN минус FE=LM минус FE=10 минус 2=8.

LN= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: LF конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те плюс FN в квад­ра­те = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1152 плюс 64 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1216 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 64 умно­жить на 19 конец ар­гу­мен­та =8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 19 конец ар­гу­мен­та .

 

Ответ: 36 или 8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 19 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б.3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б.

ИЛИ

Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а.

ИЛИ

При обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

ИЛИ

Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б и ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а, при этом пункт а не вы­пол­нен.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 17
Классификатор планиметрии: Мно­го­уголь­ни­ки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025