Продолжения сторон AD и BC выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке M, а продолжения сторон AB и CD — в точке O. Отрезок MO перпендикулярен биссектрисе угла AOD. Найдите отношение площадей треугольника AOD и четырехугольника ABCD, если OA = 12, OD = 8, CD = 2.
Введем систему координат с началом в точке O и осями, направленными вдоль OM и биссектрисы угла DOA. Пусть 
Рассмотрим случай, когда точка C лежит на отрезке OD.
Тогда координаты точек будут: 
Найдем уравнение прямой AD: 
Найдем координаты пересечения этой прямой с осью x: 
тогда 
Итак, 
Найдем уравнение прямой CM: 
и уравнение прямой AO: 
Пусть B — точка их пересечения. Подставляя, имеем:
тогда 
и 
Наконец,
Рассмотрим случай, когда точка D лежит на отрезке OC.
Тогда координаты точек будут: 
Найдем уравнение прямой AD: Найдем координаты пересечения этой прямой с осью x: тогда Итак,
Найдем уравнение прямой CM: 
и уравнение прямой AO: Пусть B — точка их пересечения. Подставляя, имеем:
тогда 
и 
Наконец,
Ответ: 2; 