Диагонали равнобокой трапеции ABCD пересекаются под прямым углом. ВН — высота к большему основанию CD, EF — средняя линия трапеции.
а) Докажите, что BH = DH.
б) Найдите площадь трапеции, если EF = 5.
а) Чтобы найти площадь трапеции поступим так.
Отложим на луче НС от точки С отрезок, равный АВ, конец отрезка обозначим К, соединим отрезком точки В и К. Полученный четырехугольник ВАСК — параллелограмм по признаку параллелограмма (AB || KС, AB = KС). Значит, BK || AC (по определению параллелограмма). По условию задачи известно, что 
Так как BK || AC, то 
т. е. 
Следовательно, около 
можно описать окружность с центром в точке Н и радиусом R = BH = KH = DH. Итак, 
Из последнего равенства получаем и то, что требовалось доказать в подпункте "а", т. е. BH = DH. Далее. KD = KC + CD = AB + CD. Но по свойству средней линии трапеции. 
т. е. 
Отсюда вывод: в равнобочной трапеции, у которого диагонали взаимно перпендикулярны, высота равна средней линии этой же трапеции.
б) Так как площадь трапеции равна произведению ее средней линии и высоты, то площадь трапеции будет равна квадрату ее средней линии. 
Замечание: то, что требуется доказать подпунктом "а", можно было вести и так:
Пусть O — точка пересечения диагоналей трапеции. Докажем, что BH = DH. Поскольку заданная трапеция равнобедренная, в 
Значит, 
как внутренние накрест лежащие при параллельных ВА, СD и секущей ВD. Следовательно, 
В таком случае в 
где 
Отсюда: 
— равнобедренный, т. е. BH = DH, что и требовалось доказать.
Ответ: 25.