Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д15 C4 № 505775
i

В тра­пе­ции ABCD AD и BC  — ос­но­ва­ния, O  — точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей.

а)  До­ка­жи­те, что вы­пол­ня­ет­ся ра­вен­ство S_ABCD= левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: S_AOD конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: S_BOC конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те .

б)  Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции ABCD, если S_BOC=49,S_AOD = 64.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

До­ка­жем два вспо­мо­га­тель­ных утвер­жде­ния.

 

1)  В любом че­ты­рех­уголь­ни­ке S_AOBS_COD=S_AODS_BOC.

 

В самом деле, обо­зна­чая \angle AOB= альфа , имеем

S_AOBS_COD= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби AO умно­жить на OB умно­жить на синус альфа умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби CO умно­жить на OD умно­жить на синус альфа =

 

= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби AO умно­жить на OD умно­жить на синус левая круг­лая скоб­ка 180 гра­ду­сов минус альфа пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби BO умно­жить на OC умно­жить на синус левая круг­лая скоб­ка 180 гра­ду­сов минус альфа пра­вая круг­лая скоб­ка S_AODS_BOC.

2)  В тра­пе­ции S_AOB=S_COD.

В самом деле,

S_AOB=S_ABD минус S_AOD= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби AD умно­жить на h_B минус S_AOD= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби AD умно­жить на h_C минус S_AOD=S_ACD минус S_AOD=S_COD.

Те­перь решим за­да­чу.

а)  Рас­кры­вая скоб­ки, имеем

S_AOD плюс S_BOC плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: S_AOD конец ар­гу­мен­та S_BOC=S_AOD плюс S_BOC плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: S_AOB конец ар­гу­мен­та S_COD= S_AOD плюс S_BOC плюс 2S_AOB=

=S_AOD плюс S_BOC плюс S_AOB плюс S_COD=S_ABCD

б)  Ис­поль­зуя фор­му­лу пунк­та а) имеем: S_ABCD= левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 64 конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 49 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =225.

 

Ответ: б) 225.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б.3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б.

ИЛИ

Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а.

ИЛИ

При обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

ИЛИ

Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б и ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а, при этом пункт а не вы­пол­нен.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 70
Методы геометрии: Метод пло­ща­дей
Классификатор планиметрии: Мно­го­уголь­ни­ки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025