В трапеции АВСD основания ВС и АD равны 3 и 9 соответственно. Из точки К, лежащей на стороне СD, опущен перпендикуляр КL, на сторону АВ. Известно, что L — середина стороны АВ, СL = 4 и что площадь четырёхугольника АLKD в 3 раза больше площади четырёхугольника ВСКL.
а) Докажите, что прямые ВK и DL параллельны.
б) Найдите длину отрезка DL.
а) Пусть LM — средняя линия трапеции, h — её высота. Имеем:
Площадь всей трапеции равна 6h, поэтому из условия следует, что площадь треугольника CLK равна 
а площадь треугольника KLD составляет 
Отсюда 
Треугольники BCK и LMD подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними, значит, равны углы BKC и MDL. Отсюда следует параллельность прямых BK и DL. Что и требовалось доказать.
б) Пусть продолжения боковых сторон трапеции пересекаются в точке E. Заметим, что BC — средняя линия треугольника LEM, поэтому 
Значит, треугольники ECL и EAK подобны с коэффициентом 2 : 3, откуда AK = 6. KL — серединный перпендикуляр к AB, поэтому 
Наконец, треугольники BCK и LMD подобны с коэффициентом 1 : 2, поэтому 
Ответ: б) 12.