Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д15 C4 № 521384
i

В па­рал­ле­ло­грам­ме АВСD диа­го­наль ВD равна сто­ро­не AD.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая СD ка­са­ет­ся окруж­но­сти ω, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка АВD.

б)  Пусть пря­мая СВ вто­рич­но пе­ре­се­ка­ет ω в точке К. Най­ди­те КD : AC при усло­вии, что угол ВDA равен 120 гра­ду­сов.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Про­ве­дем вы­со­ту DH в рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке ABD. Оче­вид­но центр лежит на ней, при этом CD\parallel AB, по­это­му CD\perp DH, сле­до­ва­тель­но, CD  — ка­са­тель­ная.

 

б)  По усло­вию, тра­пе­ция BKAD  — впи­сан­ная, по­это­му рав­но­бед­рен­ная. Тогда KD:AC=AB:AC.

В тре­уголь­ни­ке ABD имеем \angle D=120 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка , AD=DB, по­это­му \angle BAD=30 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка , AB=CD= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та AD.

В тре­уголь­ни­ке CAD имеем \angle D=180 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус 30 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка =150 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка , по тео­ре­ме ко­си­ну­сов на­хо­дим

AC в квад­ра­те =AD в квад­ра­те плюс 3AD в квад­ра­те плюс 2AD в квад­ра­те ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =7AD в квад­ра­те , то есть AC= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та AD.

Итак, AB:AC= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби конец ар­гу­мен­та . Это и есть ответ.

 

Ответ: б) ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби конец ар­гу­мен­та .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б.3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б.

ИЛИ

Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а.

ИЛИ

При обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

ИЛИ

Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б и ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а, при этом пункт а не вы­пол­нен.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 204
Методы геометрии: Тео­ре­ма ко­си­ну­сов
Классификатор планиметрии: Мно­го­уголь­ни­ки, Окруж­но­сти, Окруж­ность, опи­сан­ная во­круг че­ты­рех­уголь­ни­ка
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025