Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д15 C4 № 521420

В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АК, ВМ и СN. На стороне АВ выбрана точка Р так, что окружность описанная около треугольника РКМ касается стороны АВ.

а) Докажите, что угол КАМ равен углу МВС.

б) Найдите РN, если РА = 30, РВ = 10.

Спрятать решение

Решение.

а) Пусть в \vartriangle ABC\angle A= альфа ,\angle B= бета ,\angle C= гамма . \vartriangle AKC и \vartriangle BMC — прямоугольные с общим острым углом  гамма ; \angle KAC=\angle MBC=90 градусов минус гамма \Rightarrow \angle KAM=\angle MBC.

б) По свойству секущей и касательной AE умножить на AM=AP в квадрате и BK умножить на BF=BP в квадрате , откуда

 система выражений AE умножить на AM=900, BK умножить на BF=100 конец системы . \Rightarrow дробь: числитель: AM, знаменатель: BK конец дроби =9 умножить на дробь: числитель: BF, знаменатель: AE конец дроби левая круглая скобка 1 правая круглая скобка .

Треугольники KMC и АВС подобны: действительно, угол C у них общий, далее,  дробь: числитель: MC, знаменатель: BC конец дроби = дробь: числитель: CK, знаменатель: AC конец дроби = косинус гамма , а тогда \angle MKC=\angle BAC= альфа ; наконец, углы MEF и MKC равны как вписанные, опирающиеся на дугу MF. Тогда \angle CEF=\angle CAB= альфа , а это соответственные углы при прямых EF и AB, которые пересекает секущая AC. Тем самым, данные прямые параллельны, и  дробь: числитель: BF, знаменатель: AE конец дроби = дробь: числитель: BC, знаменатель: AC конец дроби . Подставляя полученное соотношение в равенство (1), находим:

 дробь: числитель: AM, знаменатель: BK конец дроби =9 умножить на дробь: числитель: BC, знаменатель: AC конец дроби левая круглая скобка 2 правая круглая скобка .

Далее, \vartriangle AMB и \vartriangle ANC — прямоугольные,  косинус альфа = дробь: числитель: AM, знаменатель: AB конец дроби = дробь: числитель: AN, знаменатель: AC конец дроби . Полагая PN = x, получаем:

 дробь: числитель: AM, знаменатель: 40 конец дроби = дробь: числитель: 30 плюс x, знаменатель: AC конец дроби левая круглая скобка 3 правая круглая скобка ,

Наконец, \vartriangle AKB и \vartriangle CNB также прямоугольные,  косинус бета = дробь: числитель: BK, знаменатель: AB конец дроби = дробь: числитель: BN, знаменатель: BC конец дроби . Отсюда находим, что

 дробь: числитель: BK, знаменатель: 40 конец дроби = дробь: числитель: 10 минус x, знаменатель: BC конец дроби левая круглая скобка 4 правая круглая скобка .

Разделив (3) на (4) получим  дробь: числитель: AM, знаменатель: BK конец дроби = дробь: числитель: 30 плюс x, знаменатель: 10 минус x конец дроби умножить на дробь: числитель: BC, знаменатель: AC конец дроби . Подставляя (2), получим уравнение  дробь: числитель: 30 плюс x, знаменатель: 10 минус x конец дроби =9. Его единственным решением является x=6.

 

Ответ: 6.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б3
Получен обоснованный ответ в пункте б

ИЛИ

Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а

ИЛИ

При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

ИЛИ

Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл3
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 208.
Классификатор планиметрии: Многоугольники, Подобие