В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АК, ВМ и СN. На стороне АВ выбрана точка Р так, что окружность описанная около треугольника РКМ касается стороны АВ.
а) Докажите, что угол КАМ равен углу МВС.
б) Найдите РN, если РА = 30, РВ = 10.
а) Пусть в 
и 
— прямоугольные с общим острым углом 
б) По свойству секущей и касательной 
и 
откуда
Треугольники KMC и АВС подобны: действительно, угол C у них общий, далее, 
а тогда 
наконец, углы MEF и MKC равны как вписанные, опирающиеся на дугу MF. Тогда 
а это соответственные углы при прямых EF и AB, которые пересекает секущая AC. Тем самым, данные прямые параллельны, и 
Подставляя полученное соотношение в равенство (1), находим:
Далее, 
и 
— прямоугольные, 
Полагая PN = x, получаем:
Наконец, 
и 
также прямоугольные, 
Отсюда находим, что
Разделив (3) на (4) получим 
Подставляя (2), получим уравнение 
Его единственным решением является 
Ответ: 6.