На сторонах AD и BC параллелограмма AВCD взяты соответственно точки M и N, причем ВN : NC = 1 : 3. Оказалось, что прямые AN и АС разделили отрезок BM на три равные части.
а) Докажите, что точка M — середина стороны АD параллелограмма.
б) Найдите площадь параллелограмма ABCD, если известно, что площадь четырехугольника, ограниченного прямыми АN, AС, BM и BD равна 16.
а) Обозначим за O точку пересечения диагоналей параллелограмма, а за T — точку пересечения BM и AC.
По теореме Менелая для треугольника DBM и прямой OTA имеем 
откуда 
поэтому M — середина AD.
б) Обозначим за P — точку пересечения BM и AN, а за Q — точку пересечения BD и AN. По условию 
По теореме Менелая для треугольника CBO и прямой NQA имеем 
откуда 
Поэтому 
поэтому
Поскольку AO — медиана треугольника ABD, то 
откуда 
Тогда 
Ответ: 240.