Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д15 C4 № 514054

На сторонах AD и BC параллелограмма AВCD взяты соответственно точки M и N, причем ВN : NC = 1 : 3. Оказалось, что прямые AN и АС разделили отрезок BM на три равные части. 

а) Докажите, что точка M — середина стороны АD параллелограмма.

б) Найдите площадь параллелограмма ABCD, если известно, что площадь четырехугольника, ограниченного прямыми АNBM и BD равна 16. 

Спрятать решение

Решение.

а) Обозначим за O точку пересечения диагоналей параллелограмма, а за T — точку пересечения BM и AC.

По теореме Менелая для треугольника DBM и прямой OTA имеем  дробь: числитель: DO, знаменатель: OB конец дроби умножить на дробь: числитель: BT, знаменатель: TM конец дроби умножить на дробь: числитель: MA, знаменатель: AD конец дроби =1, откуда MA:AD=1:2, поэтому M — середина AD.

б) Обозначим за P — точку пересечения BM и AN, а за Q — точку пересечения BD и AN. По условию S_TPQO=16.

По теореме Менелая для треугольника CBO и прямой NQA имеем  дробь: числитель: CN, знаменатель: NB конец дроби умножить на дробь: числитель: BQ, знаменатель: QO конец дроби умножить на дробь: числитель: OA, знаменатель: AC конец дроби =1 откуда BQ:QO=2:3.

Поэтому  дробь: числитель: S_BPQ, знаменатель: S_BTO конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби , поэтому

S_TPQO= дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби S_BTO,S_BTO=20.

Поскольку AO — медиана треугольника ABD, то AT:TO=2:1, откуда S_BAO=3S_BTO=60. Тогда S_ABCD=4S_BAO=240.

 

Ответ: 240.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б.3
Получен обоснованный ответ в пункте б.

ИЛИ

Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а.

ИЛИ

При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

ИЛИ

Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл3
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 152.
Классификатор планиметрии: Многоугольники