В трапеции KLMN основания LM и KN равны 2 и 8 соответственно. Из точки Е, лежащей на стороне MN, опущен перпендикуляр EF на сторону KL. Известно, что F — середина стороны KL, FM = 3 и что площадь четырехугольника KFEN в четыре раза больше площади четырехугольника LFEM.
а) Докажите, что прямые FN и LE параллельны.
б) Найдите длину отрезка FN.
а) Пусть P — середина стороны MN. Тогда 
Тогда высоты трапеций FLMP и KFPN равны, поэтому их площади относятся как
Из условия площади FEML и FEKN относятся как 
Поэтому площадь треугольника FEP составляет
от площади трапеции KLMN. Тогда его высота, проведенная из вершины E, составляет 
высоты трапеции KLMN или 
высоты трапеции FLMP. Значит, по теореме о пропорциональных отрезках, 
то есть 
Теперь заметим, что треугольники LME и FPN подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Отсюда углы MEL и PNF равны, поэтому прямые LE и FN параллельны. Что и требовалось доказать.
б) Пусть лучи MF и NK пересекаются в точке A. Тогда 
Заметим, что
поэтому прямые KE и AM параллельны и
Значит, 
Затем, треугольник LEK равнобедренный (высота в нем совпадает с медианой). Поэтому 
Далее, из п. а) треугольники LME и FPN подобны, поэтому
В итоге получаем, что 
Ответ: 12.