Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д15 C4 № 527396
i

Точки K и L яв­ля­ют­ся се­ре­ди­на­ми бо­ко­вых сто­рон AB и BC рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC. Точка M рас­по­ло­же­на на ме­ди­а­не AL так, что AM:ML=13:12. Окруж­ность ω с цен­тром в точке M ка­са­ет­ся пря­мой AC и пе­ре­се­ка­ет пря­мую KL в точ­ках P и Q, KL=10, PQ=4.

а)  Найти ра­ди­ус окруж­но­сти ω.

б)  Найти пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка ABC.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Опу­стим пер­пен­ди­ку­ля­ры MT и LH на AC, MS на KL. Тре­уголь­ни­ки AMT и ALH по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том

AM:AL=13:25.

Обо­зна­чим MT=13x, LH=25x, тогда

MS=TS минус TM=LH минус TM=12x.

От­ме­тим, что MT  — ра­ди­ус окруж­но­сти. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка MSP имеем

SP= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: MP в квад­ра­те минус SM в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка 13x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка 12x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =5x,

по­это­му QP=QS плюс SP=2SP=10x Зна­чит, 10x=4. Тогда x=0,4 и ра­ди­ус окруж­но­сти равен 5,2.

б)  Имеем:

AC=KL=20,

d левая круг­лая скоб­ка B,AC пра­вая круг­лая скоб­ка =2d левая круг­лая скоб­ка L,AC пра­вая круг­лая скоб­ка =50x=20,

от­ку­да

AB=AC= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 20 в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби AC в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =10 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та ,

от­ку­да пе­ри­метр 2 умно­жить на 10 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та плюс 20=20 плюс 20 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та .

 

Ответ: а) 5,2; б) 20 плюс 20 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б и ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а, при этом пункт а не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 256
Классификатор планиметрии: Мно­го­уголь­ни­ки, Окруж­но­сти и тре­уголь­ни­ки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025