В трапеции ABCD площадью, равной 30, диагонали АС и BD взаимно перпендикулярны, а ∠BAC = ∠CDB. Продолжения боковых сторон AB и CD пересекаются в точке K.
А) Докажите, что трапеция ABCD — равнобедренная.
Б) Найдите площадь треугольника AD, если известно, что ∠ AKD=30°, а BC < AD.
А) Из условия ∠BAC = ∠CDB сразу следует, что около четырехугольника ABCD можно описать окружность.
Однако, известно и то, что в окружность можно вписать только равнобедренную трапецию. Отсюда вывод: трапеция ABCD — равнобедренная.
Б) Обозначим через О точку пересечения диагоналей трапеции. Из равнобедренности трапеции ABCD также следует: AC = BD, ΔAOD — равнобедренный, ∠ BAD = ∠ CDA, Δ AKD — равнобедренный.
В Δ AKD: BC || AD, откуда Δ BKC ~ Δ AKD, ∠KBC = ∠KAD, Δ BKC — равнобедренный.
В Δ AKD:
В равнобедренном прямоугольном Δ AOD угол OAD = 45°. Значит, ∠KAC& = ∠KAD − ∠CAD = 75° − 45° = 30°.
Рассмотрим Δ AKC. В нем ∠KAC = ∠AKC = 30°, следовательно, он — равнобедренный, т. е. AC = KC (*).
Но так как AC = BD, то 0,5AC2=30; AC2 = 60.
В соответствии с равнобедренностью Δ BKC и равенством (*):
Ответ: Б) 45.