Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д15 C4 № 527504

На основаниях AD и BC трапеции ABCD построены квадраты ADMN и BCRS, расположенные вне трапеции. Диагонали трапеции пересекаются в точке T.

а) Докажите, что центры квадратов и точка T лежат на одной прямой.

б) Найдите длину отрезка RN, если AD=8, BC=3, а TN=20.

Спрятать решение

Решение.

а) Обозначим центры квадратов за O и Q. Рассмотрим треугольники OCT и QAT. Докажем, что они подобны:

\angle OCT=\angle OCB плюс \angle BCT=45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс \angle BCA=45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс \angle CAD=\angle DAQ плюс \angle CAD=\angle TAQ,

 дробь: числитель: TC, знаменатель: TA конец дроби = дробь: числитель: BC, знаменатель: AD конец дроби = дробь: числитель: дробь: числитель: корень из 2, знаменатель: 2 конец дроби BC, знаменатель: дробь: числитель: корень из 2, знаменатель: 2 конец дроби AD конец дроби = дробь: числитель: OC, знаменатель: AQ конец дроби .

Значит, \angle OCT=\angle QTA. Поскольку C, T, A лежат на одной прямой, отсюда следует, что O, T, Q лежат на одной прямой, что и требовалось доказать.

б) Аналогично пункту а) можно доказать подобие треугольников RCT и NAT (вместо угла 45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка будет угол 90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка , а BC:AD=CR:AN поскольку BC=CR, AD=AN). Поэтому точки R, T, N лежат на одной прямой. Коэффициент подобия треугольников равен

CR:AN=AD:BC=8:3,

поэтому

TR= дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби TN= дробь: числитель: 15, знаменатель: 2 конец дроби

и

RN=TN плюс TR= дробь: числитель: 55, знаменатель: 2 конец дроби .

Ответ: б)  дробь: числитель: 55, знаменатель: 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б3
Получен обоснованный ответ в пункте б

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл3
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 265.
Классификатор планиметрии: Многоугольники, Подобие