В треугольнике АВС точка М — середина АС.
а) Докажите, что длина отрезка ВМ больше полуразности, но меньше полусуммы длин сторон АВ и ВС.
б) Окружность проходит через точки В, С, М. Найдите хорду этой окружности, лежащую на прямой АВ, если известно, что АВ = 5, ВС = 3, ВМ = 2.
а) Обозначим
Применяя формулу для медианы, преобразуем условие в двойное неравенство.
Что верно по неравенству треугольника.
б) Из формулы медианы имеем 
откуда 
Обозначим вторую точку пересечения окружности с прямой AB за 
Тогда по свойству секущих, проведенных из одной точки, имеем
Ответ: 
Примечание.
Заметим, что в результате решения получилось AX>AB. Это означает, что точка В лежит на отрезке AX, а точка X, соответственно, на продолжении отрезка AB за точку B.