Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д15 C4 № 521450

В треугольнике АВС точка М  — середина АС.

а)  Докажите, что длина отрезка ВМ больше полуразности, но меньше полусуммы длин сторон АВ и ВС.

б)  Окружность проходит через точки В, С, М. Найдите хорду этой окружности, лежащую на прямой АВ, если известно, что АВ = 5, ВС = 3, ВМ = 2.

Спрятать решение

Решение.

а)  Обозначим AB=c; AC=b; BC=a. Применяя формулу для медианы, преобразуем условие в двойное неравенство.

 дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби |a минус c| меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби корень из 2a в квадрате плюс 2c в квадрате минус b в квадрате меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка a плюс c правая круглая скобка равносильно
 равносильно a в квадрате минус 2ac плюс c в квадрате меньше 2a в квадрате плюс 2c в квадрате минус b в квадрате меньше a в квадрате плюс 2ac плюс c в квадрате равносильно

 

 равносильно минус a в квадрате минус 2ac минус c в квадрате меньше минус b в квадрате меньше минус a в квадрате плюс 2ac минус c в квадрате равносильно
 равносильно левая круглая скобка a плюс c правая круглая скобка в квадрате больше b в квадрате больше левая круглая скобка c минус a правая круглая скобка в квадрате равносильно a плюс c больше b больше |a минус c|.

Что верно по неравенству треугольника.

 

б)  Из формулы медианы имеем 2= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби корень из 50 плюс 18 минус b в квадрате , откуда b=2 корень из 13, MC= корень из 13.

 

Обозначим вторую точку пересечения окружности с прямой AB за X. Тогда по свойству секущих, проведенных из одной точки, имеем

AB умножить на AX=AM умножить на AC, 5AX=26, AX= целая часть: 5, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 5 , BX= дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби .

Ответ:  дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби .

 

Примечание.

Заметим, что в результате решения получилось AX>AB. Это означает, что точка В лежит на отрезке AX, а точка X, соответственно, на продолжении отрезка AB за точку B.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б.3
Получен обоснованный ответ в пункте б.

ИЛИ

Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а.

ИЛИ

При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

ИЛИ

Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл3
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 212.
Классификатор планиметрии: Многоугольники