Прямая p, параллельная основаниям BC и AD трапеции ABCD, пересекает прямые AB, AC, BD и CD в точках E, F, G и H соответственно, причём EF = FG.
а) Докажите, что точки пересечения прямой p с диагоналями AC и BD делят отрезок EН на три равных части;
б) Найдите EF, если BC = 3, AD = 4.
Обозначим за O точку пересечения диагоналей трапеции.
а) EFGOBA, HGFOCD. Поскольку из параллельности прямой основаниям трапеции следует GO : OB = FO : OC, BA : AE = CD : DH, то EF : FG = HG : GF, то есть EF = GH, откуда следует нужное утверждение.
б) Пусть BE = a, AE = b. Продлим боковые стороны трапеции до пересечения в точке T. Из подобия треугольников TBC, TEH, TAD найдем TB = 3AB = 3(a + b) и EH = 
С другой стороны, из подобия AEF и AEC находим EH = 3EF = 
Значит 4a + 3b = 9b, a = 1.5b, EH = 
= 3.6, EF = 
EH = 1.2.
Ответ:1.2