Прямая, параллельная основаниям BC и AD трапеции ABCD, пересекает боковые стороны AB и CD в точках M и N. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Прямая MN пересекает стороны OA и OD треугольника AOD в точках K и L соответственно.
а) Докажите, что MK = NL.
б) Найдите MN, если известно, что BC = 3, AD = 8 и MK : KL = 1 : 3.
В решении задачи будем использовать подобие треугольников и теорему Фалеса.
а) Треугольники AMK и ABC подобны по 2 углам (∠ A — общий, ∠AMK = ∠ABC, как соответственные при параллельных прямых). Тогда 
По теореме Фалеса получаем 
откуда
(последнее равенство следует из подобия треугольников BDC и LDN по двум углам). Следовательно, 
откуда MK = NL. Что и требовалось доказать.
б) Обозначим MK = NL = x, KL = 3x. Из треугольников ABC и AMK:
Из подобных треугольников ACD и KCN (опять же по 2-м углам):
Обозначим 
и выпишем полученную систему двух уравнений:
Окончательно 
Ответ: 6.