На боковых сторонах AB и AC равнобедренного треугольника ABC отложены равные отрезки AP и CQ соответственно (точки Р и Q не являются серединами сторон AB и AC).
а) Докажите, что средняя линия треугольника АBC, параллельная его основанию ВC, делит отрезок PQ пополам.
б) Найдите длину отрезка прямой PQ, заключенного внутри вписанной окружности треугольника ABC, если 
и 
а) Пусть средняя линия MN пересекает отрезок PQ в точке K. Проведем прямую QD параллельно средней линии MN. Тогда четырехугольник DMNQ — равнобокая трапеция. Таким образом,
Отрезки MK и DQ параллельны, и PM = MD, следовательно, PK = KQ.
б) Пусть прямая PQ пересекает вписанную окружность в точках X и Y. Треугольник ABC равносторонний, значит, точки касания вписанной окружности совпадают с серединами сторон. Отсюда 
следовательно, 
По теореме косинусов получаем, что
откуда 
Пусть PX = t, по теореме о квадрате касательной
откуда 
тогда 
а значит, 
Находим:
По смыслу задачи 
значит, 
Ответ: б) 