В параллелограмме (отличном от ромба) проведены биссектрисы четырех углов.
А) Докажите, что в четырехугольнике, ограниченном биссектрисами, диагонали равны.
Б) Найдите площадь четырехугольника, ограниченного биссектрисами, если известно, что стороны параллелограмма равны 3 и 5 , а угол параллелограмма равен 60°.
А) Пусть биссектриса угла А пересекает BC в точке M, биссектриса угла С — AD в точке Q, биссектриса угла В — AD в точке F, биссектриса угла D — BC в точке E. Четырехугольник, ограниченный биссектрисами обозначим KHRP (см. рис.)
Соединим отрезками точки E и Q, M и F.
∠BMA = ∠MAF = 30° как внутренние накрест лежащие при параллельных BC, AD и секущей AM. Поскольку ∠BA = 30°, Δ ABM — равнобедренный, AB = BM. Аналогично получим: AF = FM.
Кроме того, ∠BAF = ∠ABF = ∠AFB = 60°, т. е. Δ ABF — равносторонний. Аналогично с Δ BMF. Отсюда вывод — четырехугольник ABMF — ромб (по признаку), у которого диагонали BF и AM обязаны быть перпендикулярными.
Аналогично получим: QECD — ромб, Δ ED — равносторонний. Значит, ∠CED = ∠FBE = 60°. Эти углы являются соответственными при прямых BF, ED и секущей BC. Значит, FBED — параллелограмм, откуда KP || HR.
В ромбе QECD диагонали QCи D также будут взаимно перпендикулярными. Следовательно, отрезки KH, PR, будучи перпендикулярными к параллельным KP, HRbокажутся параллельными. Таким образом, KHRP — прямоугольник. А у прямоугольника диагонали равны, что и требовалось доказать.
Б) Два равносторонних треугольника ABF и ED с равными сторонами AB и CD будут равными. Далее:
Аналогично, 
Следовательно,
Ответ: Б) 