В выпуклом четырехугольнике KLMN точки A, B, C, D — середины сторон KL, LM, MN, NK соответственно. Известно, что KL = 3. Отрезки AC и BD пересекаются в точке O. Площади четырехугольников KAOD, LAOB и NDOC равны соответственно 6, 6 и 9.
а) Докажите, что площади четырехугольников MCOB и NDOC равны.
б) Найдите длину отрезка MN.
а) Соединим точку O с вершинами 4-угольника K, L, M и N. Обозначим площадь треугольника AOK за x, тогда площадь треугольника KOD равна 6 − x. Так как медиана разбивает треугольник на два равновеликих, то из треугольника KOL получаем 
из треугольника KON 
Далее получим, что 
Из треугольника MON получим 
откуда 
Что и требовалось доказать.
б) Используя предыдущий пункт, предварительно докажем, что данная фигура на самом деле является трапецией.
Лемма: отрезки AC и BD делятся точкой пересечения пополам.
Доказательство: (вспомогательные линии здесь не приведены, чтобы не загрязнять чертеж) если рассмотреть треугольник KLM, то отрезок AB является в нем средней линией. Тогда 
Теперь если рассмотреть треугольник KMN, то в нем CD является средней линией. Тогда 
Отсюда получаем, что 
Аналогично доказывается, что 
Значит, ABCD является параллелограммом. Отрезки AC и BD являются диагоналями ABCD, а так как диагонали в параллелограмме делятся точкой пересечения пополам, то требуемое доказано.
Площади треугольников LBO и KDO равны, при этом равны и их основания BO и OD (по лемме), значит, должны быть равны и высоты треугольников, проведенные из вершин L и K соответственно. Отсюда следует, что точки прямых LK и BD равноудалены друг от друга, то есть 
Аналогично доказывается из площадей треугольников MBO и NDO, что 
Значит, 
и KLMN — трапеция.
Обозначим OH = OF = h, MN = a. Выразим площади фигур:
Решим систему трех уравнений: подставляя x из первого уравнения во второе, получим:
Осталось подставить найденное значение h в третье уравнение:
Ответ: 7.