Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д15 C4 № 508648

Трапеция ABCD с углами при одном основании  альфа и  бета описана около круга.

а)  Докажите, что отношение площади трапеции к площади круга выражается формулой  дробь: числитель: S_тр, знаменатель: S_кр конец дроби = дробь: числитель: 2, знаменатель: Пи конец дроби умножить на дробь: числитель: синус альфа плюс синус бета , знаменатель: синус альфа умножить на синус бета конец дроби ;

б) Найдите площадь прямоугольной трапеции ABCD, если  альфа = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби , а площадь вписанного круга равна  Пи .

Спрятать решение

Решение.

а) Пусть \angle BAD= альфа ,\angle CDA= бета ,AB=a,CD=b,R — радиус заданной окружности.

Из вершин В и С трапеции проведем перпендикуляры к AD. Их основания обозначим Е и F соответственно. Ясно, что BE = CF = 2R; a= дробь: числитель: 2R, знаменатель: синус альфа конец дроби ;b= дробь: числитель: 2R, знаменатель: синус бета конец дроби . Так как около окружности можно описать четырехугольник в том и только в том случае, если суммы противолежащих его сторон равны, то сумма оснований трапеции будет равна сумме ее боковых сторон, т. е. AD + BC = a + b.

S_тр= дробь: числитель: a плюс b, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 2R= левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка умножить на R= левая круглая скобка дробь: числитель: 2R, знаменатель: синус альфа конец дроби плюс дробь: числитель: 2R, знаменатель: синус бета конец дроби правая круглая скобка умножить на R=2R в квадрате левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: синус альфа конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: синус бета конец дроби правая круглая скобка = дробь: числитель: 2R в квадрате левая круглая скобка синус альфа плюс синус бета правая круглая скобка , знаменатель: синус альфа умножить на синус бета конец дроби .

 

 дробь: числитель: S_тр, знаменатель: S_кр конец дроби = дробь: числитель: 2R в квадрате левая круглая скобка синус альфа плюс синус бета правая круглая скобка , знаменатель: Пи R в квадрате синус альфа умножить на синус бета конец дроби = дробь: числитель: 2, знаменатель: Пи конец дроби умножить на дробь: числитель: синус альфа плюс синус бета , знаменатель: синус альфа умножить на синус бета конец дроби ,

что и требовалось доказать.

б) Так как трапеция прямоугольная, то при  альфа = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби бета = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби .

По условию  Пи R в квадрате = Пи , значит, R=1.

Тогда

S_тр= дробь: числитель: 2R в квадрате левая круглая скобка синус альфа плюс синус бета правая круглая скобка , знаменатель: синус альфа умножить на синус бета конец дроби = дробь: числитель: 2 умножить на 1 умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 1 конец дроби = дробь: числитель: левая круглая скобка корень из 3 плюс 2 правая круглая скобка умножить на 2, знаменатель: корень из 3 конец дроби = дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби умножить на левая круглая скобка 3 плюс 2 корень из 3 правая круглая скобка .

 

Ответ:  дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби умножить на левая круглая скобка 3 плюс 2 корень из 3 правая круглая скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б.3
Получен обоснованный ответ в пункте б.

ИЛИ

Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а.

ИЛИ

При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

ИЛИ

Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл3
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 85.
Методы геометрии: Теорема синусов